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11.11. Zusammenhang Umkugelradius - Kantenkugelradius

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Bei einigen regulären Polyedern ist mir ein interessanter Zusammenhang zwischen dem Umkugelradius und dem Kantenkugelradius aufgefallen. Die Formeln enthalten nur ganze Zahlen, die sich zwischen Umkugelradius und Kantenkugelradius nur minimal unterscheiden.
Alle Formeln beziehen sich auf eine Kantenlänge von 1 und sind so formuliert das sie direkt verglichen werden können.

  Polyeder Umkugelradius Kantenkugelradius
  Tetraeder
  Hexaeder
  Oktaeder
  Dodekaeder
  Ikosaeder
  Abgeschrägtes Hexaeder
  Tetraederstumpf
  Kuboktaeder
  Hexaederstumpf
  Oktaederstumpf
  Rhombenkuboktaeder
  J37 Verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel
  Großes Rhombenkuboktaeder
  Ikosidodekaeder
  J34 Fünfecksdoppelrotunde
  Dodekaederstumpf
  Ikosaederstumpf
  Rhombenikosidodekaeder
  Großes Rhombenikosidodekaeder
  Small ditrigonary icosidodecahedron
  Ditrigonal dodecadodecahedron
  Rhombihedron
  Rhombidodecadodecahedron
  Icosidodecadodecahedron
  Rhombicosahedron
  Small Snub Icosicosidodecahedron
  Great dodecicosahedron
  Great ditrigonal dodecicosidodecahedron
  Great icosicosidodecahedron
  Small dodecicosidodecahedron
  Small rhombidodecahedron
  Small stellated truncated dodecahedron
  Nonconvex great rhombicuboctahedron
  Great cubicuboctahedron
  Great rhombihexahedron

Alle Formeln enthalten nur ganze Zalen, das hat eine gewisse Ästhetik. Bei einigen Formeln beträgt der Nenner 2 und bei einigen beträgt er 4. Das läßt sich aber durch einen gemeinsamen Hauptnenner ändern. Das demonstriere ich am Beispiel des Hexaederstumpfs.

       

       

Führen wir eine Polyederspezifische Konstante p ein dann läßt sich der Umkugelradius ru und der Kantenkugelradius rk wie folgt ausdrücken.

               

Lösen wir ru nach p auf.

       

Jetzt setzen wir p in rk ein.

       

So erhalten wir eine allgemeingültige Beziehung zwischen dem Umkugelradius ru und dem Kantenkugelradius rk.

        bzw.        

Diese Beziehung gilt für alle platonischen und archimedischen Körper und wahrscheinlich auch für alle anderen Polyeder, die eine Um- und Kantenkugel besitzen.



Das gilt auch im 2D Bereich für regelmäßige Vielecke (Kantenlänge = 1).

  Vieleck Umkreisradius Inkreisradius
  Dreieck
  Viereck
  Fünfeck
  Sechseck
  Achteck
  Zehneck
  Zwölfeck
  Sechzehneck

Für den Umkreisradius ru und der Inkreisradius ri erhalten wir

               

Die Formel läßt sich auch für beliebige Nenner erweitern, so lassen sich einige Formeln einfacher schreiben.

  Vieleck Umkreisradius Inkreisradius
  Dreieck
  Fünfeck

Für den Umkreisradius ru und der Inkreisradius ri erhalten wir dann

               

So erhalten wir analog zu den Polyedern eine allgemeingültige Beziehung zwischen dem Umkreisradius ru und dem Inkreisradius ri der regelmäßigen Vielecke.

               

Das läßt sich natürlich auch viel einfacher über den Pythagoras herleiten, z.B. am Fünfeck (Kantenlänge = a).

       

       

Und bei den Polyedern am Beispiel des Dodekaeders.


Der Inkugelradius eines Polygons im Polyeder (er berührt die Mitte des Polygons) läßt sich leicht über den Umkugelradius des Polyeders ru berechnen. Dazu benötigt man nur noch den Umkreisradius des Polygons und kann den Inkugelradius des Polygons mit dem Pythagoras berechnen.

  Polygon Umkreisradius Polygon Inkugelradius Polyeder
  Dreieck
  Viereck
  Fünfeck
  Sechseck
  Achteck
  Zehneck


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