[zurück] | 11.11. Zusammenhang Umkugelradius - Kantenkugelradius |
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Bei einigen regulären Polyedern ist mir ein interessanter Zusammenhang zwischen dem Umkugelradius und dem Kantenkugelradius
aufgefallen. Die Formeln enthalten nur ganze Zahlen, die sich zwischen Umkugelradius und Kantenkugelradius nur minimal unterscheiden.
Alle Formeln beziehen sich auf eine Kantenlänge von 1 und sind so formuliert das sie direkt verglichen werden können.
Alle Formeln enthalten nur ganze Zalen, das hat eine gewisse Ästhetik. Bei einigen Formeln beträgt der Nenner 2 und bei einigen beträgt er 4. Das läßt sich aber durch einen gemeinsamen Hauptnenner ändern. Das demonstriere ich am Beispiel des Hexaederstumpfs.
Führen wir eine Polyederspezifische Konstante p ein dann läßt sich der Umkugelradius ru und der Kantenkugelradius rk wie folgt ausdrücken.
Lösen wir ru nach p auf.
Jetzt setzen wir p in rk ein.
So erhalten wir eine allgemeingültige Beziehung zwischen dem Umkugelradius ru und dem Kantenkugelradius rk.
bzw.
Diese Beziehung gilt für alle platonischen und archimedischen Körper und wahrscheinlich auch für alle anderen Polyeder, die eine Um- und Kantenkugel besitzen.
Das gilt auch im 2D Bereich für regelmäßige Vielecke (Kantenlänge = 1).
Vieleck | Umkreisradius | Inkreisradius |
Dreieck | ||
Viereck | ||
Fünfeck | ||
Sechseck | ||
Achteck | ||
Zehneck | ||
Zwölfeck | ||
Sechzehneck |
Für den Umkreisradius ru und der Inkreisradius ri erhalten wir
Die Formel läßt sich auch für beliebige Nenner erweitern, so lassen sich einige Formeln einfacher schreiben.
Vieleck | Umkreisradius | Inkreisradius |
Dreieck | ||
Fünfeck |
Für den Umkreisradius ru und der Inkreisradius ri erhalten wir dann
So erhalten wir analog zu den Polyedern eine allgemeingültige Beziehung zwischen dem Umkreisradius ru und dem Inkreisradius ri der regelmäßigen Vielecke.
Das läßt sich natürlich auch viel einfacher über den Pythagoras herleiten, z.B. am Fünfeck (Kantenlänge = a).
Und bei den Polyedern am Beispiel des Dodekaeders.
Der Inkugelradius eines Polygons im Polyeder (er berührt die Mitte des Polygons) läßt sich leicht über den Umkugelradius des Polyeders ru berechnen. Dazu benötigt man nur noch den Umkreisradius des Polygons und kann den Inkugelradius des Polygons mit dem Pythagoras berechnen.
Polygon | Umkreisradius Polygon | Inkugelradius Polyeder |
Dreieck | ||
Viereck | ||
Fünfeck | ||
Sechseck | ||
Achteck | ||
Zehneck |
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