3.3. Trefoil B
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Am Beispiel des Trefoil Knotens aus Kapitel 2.2. habe ich die Umformung in eine rationale Parametrisierung einmal selbst probiert. Wir gehen von folgenden Gleichungen aus.
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x(x) = - 10*cos(x) - 2*cos(5*x) + 15*sin(2*x) |
8-10 |
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y(x) = - 15*cos(2*x) + 10*sin(x) - 2*sin(5*x) |
8-11 |
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z(x) = 10*cos(3*x) |
8-12 |
Um die Umformung durchführen zu können müssen wir zuerst die Gleichungen so umschreiben das keine Faktoren innerhalb der trigonometrischen Funktionen mehr auftreten. Dazu verwenden wir folgend Formeln aus der Literatur [19].
| sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) |
8-102 |
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| sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin3(x) | 8-103 | |
| sin(4x) = 4 sin(x) cos(x) - 8 sin3(x) cos(x) | 8-104 | |
| sin(5x) = 5 sin(x) - 20 sin3(x) + 16 sin5(x) | 8-105 | |
| cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) | 8-106 | |
| cos(3x) = 4 cos3(x) - 3 cos(x) | 8-107 | |
| cos(4x) = 8 cos4(x) - 8 cos2(x) + 1 | 8-108 | |
| cos(5x) = 16 cos5(x) - 20 cos3(x) + 5 cos(x) | 8-109 |
Am Beispiel von z(x) möchte ich das kurz skizzieren. Wir setzten Gl. 8-107 in Gl. 8-12 ein und erhalten.
| z(x) = 40 cos3(x) - 30 cos(x) | 8-110 |
Jetzt setzen wir Gl. 8-71 in Gl. 8-110 ein.
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8-111 |
Jetzt müssen wir nur noch die Klammern ausmultiplizieren, die Brüche auf einen Hauptnenner bringen und die einzelnen Potenzen ordnen. Das Gleiche machen wir dann für x und y und erhalten nach fast unendlich vielen Rechenschritten folgende Gleichungen.
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8-112 |
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8-113 | |
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8-114 |
Die Gleichungen schreiben wir jetzt so das wir sie direkt in das Cinema Formel-Spline kopieren können.
| x(t) = (-12+60*t+60*t*t+120*t^3-440*t^4+440*t^6-120*t^7-60*t^8-60*t^9+12*t^10)/(1+5*t*t+10*t^4+10*t^6+5*t^8+t^10) |
8-115 |
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| y(t) = (-15+45*t*t+320*t^3+210*t^4-384*t^5+210*t^6+45*t^8+320*t^7-15*t^10)/(1+5*t*t+10*t^4+10*t^6+5*t^8+t^10) | 8-116 | |
| z(t) = (10-150*t*t+150*t^4-10*t^6)/(1+3*t*t+3*t^4+t^6) | 8-117 |
In Cinema sieht das dann so aus.
Abb. 40
Die Punkte sind auch hier unsymmetrisch verteilt. Bei einem Wertebereich von t [-100, 100] ist der Knoten noch nicht volltändig. In der Schleife sind noch Stufen zu erkennen, 5000 Punkte reichen nicht aus.
Abb. 41
Abb. 42 zeigt die Draufsicht.
Abb. 42
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