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2. Attraktoren als Spline Kurve

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Wenn die Wertepaare bei der Berechnung in logischer räumlicher Reihenfolge anfallen können wir sie zu einer Linie verbinden. Aus der daraus entstehenden Splinekurve können wir dann ein Sweep-Nurbs bzw. Schlauchobjekt machen.

2.1. Lorenz Attraktor

Edward Lorenz untersuchte zur Berechnung der Wettervorhersage 1963 ein System von Differenzialgleichungen [2].

 

dx/dt = a * (y - x)

5-5
 

dy/dt = x * (b - z) - y

5-6
 

dz/dt = x * y - c * z

5-7

Solche Differenzialgleichungen lassen sich nur numerisch lösen. Dazu kann man z.B. das Runge Kutta Verfahren [7,8] benutzen. Ein entsprechendes Programm für den Lorenz Attraktor ist in [3] beschrieben. Da es uns nur darauf ankommt ein interessantes Bild zu berechnen können wir auf übertriebene mathematische Genauigkeit verzichten.

Für die Berechnung ersetzen wir den Differenzialquotienten dx/dt durch den Differenzenquotienten x/t.

x beschreibt die Differenz zweier aufeinanderfolgender x Werte. Wir können x daher so ausdrücken.

 

x = xn+1 - xn

5-8

Dies setzen wir in Gl. 5-5 ein.

 

x/t = a * (y - x)

5-9
 

(xn+1 - xn)/t = a * (y - x)

5-10

Die Differenz t bringen wir auf die rechte Seite der Gleichung.

 

xn+1 - xn = (a * (y - x)) * t

5-11

Nun brauchen wir nur noch xn auf die rechte Seite zu bringen. Alle anderen Variablen auf der rechten Seite versehen wir ebenfalls mit dem Index n. Mit Gl. 5-6 und Gl. 5-7 verfahren wir genauso.

 

xn+1 = xn + (a * (yn - xn)) * t

5-12
 

yn+1 = yn + (xn * (b - zn) - yn) * t

5-13
 

zn+1 = zn + (xn * yn - c * zn) * t

5-14

In der Literatur werden die Gleichungen in der Regel mit dt geschrieben. In den folgenden Beispielen werde ich daher auch dt statt t verwenden.
Mit diesen Gleichungen können wir ein Plugin programmieren das den Attraktor als Spline Kurve darstellt.

Ein schönes Bild erhalten wir mit den Konstanten

 

a = 10
 

b = 28
 

c = 8/3


Abb. 3

Die räumliche Struktur des Lorenz Attraktors läßt sich besonders gut in einem Stereobild erkennen. Zur Herstellung von Stereobildern gibt es hier ein Tutorial.


Abb. 4

Das Plugin zur Erzeugung des Attraktors (für Cinema Version 5, 7 und 8) kann auf der Download Seite runtergeladen werden.

In der Video Sektion gibt es auch eine Animation des Lorenz Attraktors zum Download.

Neben dem klassischen Lorenz Attraktor mit 2 Orbitalen wurden von Rick Miranda [10] und Emily Stone [11] auch Systeme mit einem, drei und vier Orbitalen entwickelt [4,9].

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