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1. Einleitung

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Um Mißverständnisse zu vermeiden zuerst einmal eine kleine Begriffserklärung.


Abb. 1

Der Begriff Attraktor stammt aus der Chaostheorie. In Cinema gibt es ebenfalls einen Attraktor, es handelt sich um einen Modifikator für das Partikelsystem. Durch eine radialsymmetrische Gravitationskraft werden Partikel eingefangen [6].

Bei den Attraktoren, die ich hier beschreiben möchte, werden auf ähnliche Weise Wertepaare einer Berechnung eingefangen. Wir erzeugen durch einen Algorithmus eine Folge von Punkten im Raum die wir mit einer Spline Kurve verbinden oder als Kugelwolke zeichnen. Am Beispiel des Lorenz Attraktors möchte ich dieses Einfangen einmal demonstrieren.

 

xn+1 = xn + a * (yn - xn) * dt

5-1
 

yn+1 = yn + (xn * (b - zn)-yn) * dt

5-2
 

zn+1 = zn + (xn * yn - c * zn) * dt

5-3

a, b, c sind Konstanten und dt bestimmt den (zeitlichen) Abstand zwischen zwei Punkten. x,y und z sind die Koordinaten eines Punktes im Raum. Wie diese Gleichungen zustande kommen wird in Kapitel 2.1. erkärt.

Was fällt uns beim Betrachten dieser Gleichungen auf? Die Koordinaten des nächten Punktes Pn+1 werden aus den Koordinaten des vorherigen Punktes Pn berechnet. Normalerweise sollten bei solchen Berechnungen die Werte sehr schnell wachsen und nach kurzer Zeit z.B. Unendlich erreichen. Doch bei den Attraktoren wie beim Lorenz Attraktor ist das anders. Egal wieviele Punkte wir berechnen, sie erreichen nie Unendlich solange die Startwerte im Einzugsgebiet des Attraktors liegen. Solche Attraktoren werden wegen ihres merkwürdigen Verhaltens auch "strange attractor" genannt [2].

Für die folgende Berechnung verwenden wir die Konstanten

 

a = 10

  
 

b = 28

  
 

c = 2.667

  
 

dt = 0.01

  

Als Startwerte verwenden wir x=1, y=1 und z=1.

n

x

y

z

1

1.000

0.983

1.270

2

1.027

0.970

1.537

3

1.078

0.960

1.810

4

1.151

0.954

2.094

5

1.246

0.952

2.396

10

2.041

1.064

4.368

100

-3.576

17.118

-5.384

1000

-14.526

39.101

-11.346

10000

10.481

33.673

7.368

100000

-2.630

24.338

-5.362

Aber was macht den Reiz solcher Attraktoren aus? Wenn wir die Werte grafisch darstellen erhalten wir sehr interessante und zum Teil ungewöhnliche Gebilde. Sozusagen Design by Natur.

Wenn wird die Punkte 1 bis 5000 miteinander durch eine Linie verbinden bekommen wir folgendes Bild.


Abb. 2

Wir bauen jetzt in die Gleichungen einen kleinen Fehler ein. Dazu vertauschen wir in Gleichung 5-3 das Minus gegen ein Plus.

 

xn+1 = xn + a * (yn - xn) * dt

5-1
 

yn+1 = yn + (xn * (b - zn)-yn) * dt

5-2
 

zn+1 = zn + (xn * yn + c * zn) * dt

5-4

Diesmal sieht die Berechnung ganz anders aus. Nach kurzer Zeit erreichen die Werte unendlich.

n

x

y

z

1

1.000

1.037

1.260

2

1.026

1.077

1.517

3

1.075

1.121

1.778

4

1.145

1.170

2.049

5

1.236

1.225

2.336

10

1.991

1.637

4.177

100

-0.730

300.316

-64.462

125

7970

217663

193809

126

26555

15671952

-17155706

127

-1691671

-4539575296

-4178633216

128

-419385824

70684063563776

-76798821924864

Schon kleine Veränderungen der Gleichungen zerstören die Eigenschaft des Attraktors. Änderungen der Konstanten haben in der Regel die gleichen Auswirkungen. Das wollte ich ursprünglich auch mit dem Lorenz Attraktor demonstrieren aber der erwies sich gegenüber Änderungen der Konstanten als sehr tolerant.

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