5.25. Chebyshev Methode
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Die Chebyshev Fraktale [7, 41, 59] werden nach folgender Formel berechnet. Zur Berechnung wird neben der Funktion f(zn) auch die erste Ableitung f '(zn) und die zweite Ableitung f ''(zn) benötigt. Hier habe ich mit yn etwas die Schreibweise der Formeln geändert.
mit
und a = 0.
Es ergibt sich dann folgende Formel.
Für andere Werte von a bekommt man andere Methoden, für a = 0,5 erhält man die Halley Methode. Das möchte ich aus den obigen Formeln einmal herleiten.
Für a = 1 erhält man die Super Halley Methode.
Für a = unendlich erhält man die Newton Methode.
Die Formel für die Chebyshev Methode läßt sich auch anders darstellen.
mit
Durch Einsetzen erhält man wieder die obige Gleichung.
f(z) = z2 - 1
Nullstellen:
z1 = -1,0
z2 = 1,0
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Auch bei einem Polynom mit nur zwei Nullstellen gibt es eine Feinstruktur.
f(z) = z3 - 1
Nullstellen:
z1 = -0,5 + 0,866025403784i
z2 = -0,5 - 0,866025403784i
z3 = 1,0 + 0,0i
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
f(z) = z4 - 5 z2 + 4
Nullstellen:
z1 = 1
z2 = -1
z3 = 2
z4 = -2
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
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