2.4. Viviani Kurve
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Die Viviani Kurve (gelbe Linie in Abb. 37) beschreibt die Durchdringung eines Zylinder mit dem Radius a und einer Kugel mit dem Radius 2a. Der Zylinder ist dabei um den Faktor a verschoben (siehe Abb. 37). Sie wurde nach Vincenzo Viviani (1622 - 1703) benannt.
Abb. 37
Die Funktion für die Schnittlinie entnehmen wir der Literatur [3].
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x = a (1 + cos(t)) |
9-69 |
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y = a sin(t) |
9-70 |
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z = 2a sin(t/2) |
9-71 |
Nun versuchen wir einmal diese Gleichungen herzuleiten. Dazu gehen wir von der parametrischen Darstellung der Kugel
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x = 2a cos(u1) sin(v1) |
9-72 |
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y = 2a sin(u1) sin(v1) |
9-73 |
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z = 2a cos(v1) |
9-74 |
und des Zylinders
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x = a (1 + cos(u2)) |
9-75 |
||
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y = a sin(u2) |
9-76 |
||
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z = v2 |
9-77 |
aus. Jetzt setzen wir die Gleichungen der Kugel (Gl. 9-72/73/74) und des Zylinders (Gl. 9-75/76/77) gleich.
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2 cos(u1) sin(v1) = (1 + cos(u2)) |
9-78 |
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2 sin(u1) sin(v1) = sin(u2) |
9-79 |
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2a cos(v1) = v2 |
9-80 |
Aus den Gl. 9-78 und 79 habe ich den Faktor a schon herausgekürzt. Nun versuchen wir von den 4 Parametern alle bis auf u2 zu eliminieren.
Wir lösen Gl. 9-78 nach cos(u1) sin(v1) auf.
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cos(u1) sin(v1) = (1 + cos(u2))/2 |
9-81 |
Gl. 9-81 setzten wir in Gl. 9.72 der Kugel ein und erhalten.
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x = 2a (1 + cos(u2))/2 |
9-82 |
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x = a (1 + cos(u2)) |
9-83 |
So haben wir schon einmal Gl. 9-69 bewiesen. Im nächsten Schritt lösen wir Gl. 9-79 nach sin(u1) sin(v1) auf.
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sin(u1) sin(v1) = sin(u2)/2 |
9-84 |
Gl. 9-84 setzten wir in Gl. 9.73 der Kugel ein und erhalten.
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y = 2a sin(u2)/2 |
9-85 |
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y = a sin(u2) |
9-86 |
So haben wir auch Gl. 9-70 bewiesen. Jetzt fehlt nur noch die Gleichung für z. Dafür benötigen wir einen Ausdruck für cos(v1). Dazu müssen wir Gl. 9-78 und 79 benutzen, diese enthalten aber auch noch den Parameter u1. Für die weitere Vorgehensweise gibt es wahrscheinlich mehrere Möglichkeiten, ich habe mich für folgende entschieden.
Zuerst suchen wir einen Ausdruck für u1, dazu eliminieren wir v1. Dazu lösen wir Gl. 9-78 nach sin(v1) auf.
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sin(v1) = (1 + cos(u2))/(2 cos(u1)) |
9-87 |
Dann lösen wir Gl. 9-79 nach sin(v1) auf.
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sin(v1) = sin(u2)/(2 sin(u1)) |
9-88 |
Jetzt setzen wir Gl. 9-87 und 9-88 gleich.
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9-89 |
Die Sinusfunktionen auf der linken Seite wandeln wir mit Hilfe von Gl. 9-11 in Cosinus um.
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9-90 |
Jetzt quadrieren wir beide Seiten um die Wurzeln zu entfernen, vorher haben wir beide Seiten mit 2 multipliziert.
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9-91 |
Wir multiplizieren den Bruch kreuzweise und versuchen durch Umstellen die Gleichung möglichst zu vereinfachen.
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9-92 |
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9-93 |
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9-94 |
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9-95 |
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9-96 |
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9-97 |
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9-98 |
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9-99 |
Jetzt haben wir einen Ausdruck für cos(u1). Gl. 9-99 setzten wir in Gl. 9-78 ein.
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9-100 |
Gl. 9-100 lösen wir nach sin(v1) auf.
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9-101 |
Gl. 9-101 quadrieren wir und vereinfachen sie ein wenig.
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9-102 |
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9-103 |
Für Gl. 9-74 benötigen wir aber eine Ausdruck für cos(v1), dazu benutzen wir wieder Gl. 9-11.
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9-104 |
Nun setzten wir Gl. 9-103 in Gl. 9-104 ein.
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9-105 |
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9-106 |
Gl. 9-106 setzten wir in Gl. 9-74 ein.
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9-107 |
Um Gl. 9-107 zu vereinfachen benutzen wir eine mathematische Formelsammlung [1,2]. Dort finden wir folgendes.
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9-108 |
Jetzt setzen wir Gl. 9-108 in Gl. 9-107 ein und erhalten.
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9-109 |
Somit haben wir auch Gl. 9-71 bewiesen.
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