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3. Polynominale Knoten

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Es gibt eine Möglichkeit die Fourier Knoten aus Kapitel 2 ohne trigonometrische Funktionen darzustellen.

Einen Weg trigonometrische Parametrisierung in eine rationale Parametrisierung umzuwandeln beschreibt David Clark [14]. Ich finde diesen Ansatz interessant und so möchte ich etwas ausführlicher auf die Herleitung eingehen.
Zuerst betrachten wir die Kreisfunktion (siehe Gl. 8-4/5), den Parameter t tauschen wir durch ß aus.

 

x(ß) = cos(ß)

8-64
 

y(ß) = sin(ß)

8-65
 

für ß [-Pi, Pi]

8-66

Jetzt ersetzen wir ß durch den Ausdruck

 

ß = 2 arctan(t)

8-67

den wir auch ungekehrt schreiben können als

 

8-68

Zuerst betrachten wir die Cosinusfunktion die wir nach [19] auch so schreiben können

 

8-69

Jetzt substituieren wir x durch ß/2 und erhalten

 

8-70

In Gl. 8-70 setzten wir jetzt Gl. 8-68 ein und erhalten die gewünschte Gleichung.

 

8-71

Sinngemäß machen wir für die Sinusfunktion Gl. 8-65 das gleiche.

 

8-72
 

8-73
 

8-74

Für die Kreisfunktion können wir jetzt als rationale Parametrisierung schreiben.

 

x(t) = (1-t*t)/(1+t*t)

8-75
 

y(t) = 2*t/(1+t*t)

8-76
 

für t [R]

8-77

Zum besseren Verständnis probieren wir die Gleichungen einfach in Cinema aus. Dazu brauchen wir kein Plugin, wir kopieren sie einfach in das Formel-Spline. Der Wertebereich von t ist entscheidend für das Aussehen des Bildes. Damit die Verteilung der Punkte zu erkennen ist habe ich von Cinema einfach ein Screencopy gemacht.

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