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Aufgabe 81

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      (Gl. 1)

Zuerst betrachten wir die Aufgabe mit einer endlichen oberen Grenze m.

      (Gl. 2)

Wir berechnen die ersten und letzten Glieder der Produktfunktion.

      (Gl. 3)

Zur Lösung der Aufgabe benutzen wir eine Regel aus der Trigonometrie für halbe Winkel. Es gilt.

      (Gl. 4)

In Gl. 4 teilen wir den Winkel x durch 2 und erhalten.

      (Gl. 5)      (Gl. 6)

In Gl. 5 teilen wir den Winkel x durch 2 und erhalten.

      (Gl. 7)      (Gl. 8)

In Gl. 7 teilen wir den Winkel x durch 2 und erhalten.

      (Gl. 9)      (Gl. 10)

Jetzt setzen wir Gl. 6 in Gl. 4 ein.

      (Gl. 11)

Wir setzen Gl. 8 in Gl. 11 ein.

      (Gl. 12)

Wir setzen Gl. 10 in Gl. 12 ein.

      (Gl. 13)

Diesen Vorgang wiederholen wir m mal und erhalten.

      (Gl. 14)

Gl. 14 können wir mit der Produktfunktion Pi vereinfachen.

      (Gl. 15)

Gl. 15 stellen wir etwas um, die linke Seite entspricht jetzt unserer Aufgabe Gl. 2.

      (Gl. 16)

Jetzt müssen wir noch m durch unendlich ersetzen. Bei der Produktfunktion ist das kein Problem, auf der rechten Seite benutzen wir den Grenzwert (Limes).

      (Gl. 17)

Den Grenzwert bestimmen wir separat, dazu multiplizieren und dividieren ihn mit x/2m.

      (Gl. 18)

Wir stellen Gl. 18 etwas um.

      (Gl. 19)

Wir können einmal 2m kürzen.

      (Gl. 20)

x können wir vor den Limes ziehen.

      (Gl. 21)

Zuerst bestimmen wir den Grenzwert von x/2m gegen unendlich, als Ergebnis erhalten wir Null.

      (Gl. 22)

Es gilt (siehe Anhang 2).

      (Gl. 23)

Mit Hilfe von Gl. 22 und Gl. 23 erhalten wir für den Grenzwert der rechten Seite von Gl. 21.

      (Gl. 24)

Gl. 24 setzen wir in Gl. 21 ein.

      (Gl. 25)

Gl. 25 setzen wir in Gl. 17 ein und wir erhalten das Ergebnis der Aufgabe.

      (Gl. 26)


Anhang 1

      (Gl. 2)

Ein Zahlenbeispiel: Für

      (Gl. 27)

berechnen wir das Ergebnis bis m=20.

m P
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    
8    
9    
10    
11    
12    
13    
14    
15    
16    
17    
18    
19    
20    		 0,866025403784    
0,836516303738    
0,829359790796    
0,827584067821    
0,827140968947    
0,827030246128    
0,827002568665    
0,826995649502    
0,826993919724    
0,826993487281    
0,826993379170    
0,826993352142    
0,826993345385    
0,826993343696    
0,826993343273    
0,826993343168    
0,826993343141    
0,826993343135    
0,826993343133    
0,826993343133    

Anhang 2

      (Gl. 34)

x sin(x)/x
   1
   0,1
   0,01
   0,001
   0,0001
   0,00001
   0,000001 		    0,841470984808
    0,998334166468
    0,999983333417
    0,999999833333
    0,999999998333
    0,999999999983
    1,000000000000

Bestimmung des Grenzwertes nach der Regel von L`Hospital.

      (Gl. 28)

      (Gl. 29)

      (Gl. 30)

      (Gl. 31)

      (Gl. 32)

      (Gl. 33)

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