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Aufgabe 75

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      (Gl. 1)

Wenn auf der rechten Seite von Gl. 1 eine Null stände wäre die Aufgabe leicht zu lösen. Wir betrachten die Klammern auf der linken Seite trotzdem als quadratische Gleichung und lösen sie.

(Gl. 2)	(Gl. 6)
siehe Anhang 1	siehe Anhang 2
(Gl. 3)	(Gl. 7)
(Gl. 4)	(Gl. 8)
(Gl. 5)	(Gl. 9)

Wir setzen Gl. 5 und Gl. 9 in Gl. 1 ein.

      (Gl. 10)

Es gilt.

      (Gl. 11)

Wir sortieren Gl. 10 so das (a+b) nach dem Ausmultiplizieren gleich sind.

      (Gl. 12)

Wir multiplizieren die ersten beiden Klammern.

      (Gl. 13)

Wir multiplizieren die letzten beiden Klammern.

      (Gl. 14)

Wir setzen Gl. 13 und Gl. 14 in Gl. 12 ein.

      (Gl. 15)

Die ersten beiden Glieder in den Klammern sind identisch, wir substituieren x²-x durch t.

      (Gl. 16)

Wir setzen Gl. 16 in Gl. 15 ein.

      (Gl. 17)

Wir multiplizieren die Klammern aus.

      (Gl. 18)

Wir subtrahieren auf beiden Seiten 72 und erhalten eine quadratische Gleichung.

      (Gl. 19)

Zur Lösung von Gl. 19 siehe Anhang 3, die beiden Lösungen.

      (Gl. 20)       (Gl. 21)

Wir setzen Gl. 20 und Gl. 21 in Gl. 16 ein, daraus ergeben sich wieder zwei quadratische Gleichungen.

(Gl. 16)
(Gl. 20)	(Gl. 21)
(Gl. 22)	(Gl. 26)
(Gl. 23)	(Gl. 27)
siehe Anhang 4	siehe Anhang 5
(Gl. 24)	(Gl. 28)
(Gl. 25)	(Gl. 29)

Wir erhalten insgesamt 4 Lösungen für x.

      (Gl. 24)       (Gl. 25)       (Gl. 30)       (Gl. 31)

Kontrolle 1

Zur Kontrolle setzen wir x₁ in Gl. 1 ein.

      (Gl. 1)

      (Gl. 24)

Zuerst berechnen wir x₁².

      (Gl. 32)

Es gilt.

      (Gl. 33)

Mit Hilfe von Gl. 33 erhalten wir aus Gl. 32.

      (Gl. 34)

      (Gl. 35)

Für 6*x₁ erhalten wir.

      (Gl. 36)

Für die linke Klammer von Gl. 1 erhalten wir.

      (Gl. 37)

      (Gl. 38)

Für 8*x₁ erhalten wir.

      (Gl. 39)

Für die rechte Klammer von Gl. 1 erhalten wir.

      (Gl. 40)

      (Gl. 41)

Wir setzen Gl. 38 und Gl. 41 in Gl. 1 ein.

      (Gl. 42)

Es gilt.

      (Gl. 43)

Mit Hilfe von Gl. 43 erhalten wir aus Gl. 42.

      (Gl. 44)

      (Gl. 45)

      (Gl. 46)

Kontrolle 2

Zur Kontrolle setzen wir x₂ in Gl. 1 ein.

      (Gl. 1)

      (Gl. 25)

Zuerst berechnen wir x₂².

      (Gl. 47)

Es gilt.

      (Gl. 48)

Mit Hilfe von Gl. 48 erhalten wir aus Gl. 47.

      (Gl. 49)

      (Gl. 50)

Für 6*x₂ erhalten wir.

      (Gl. 51)

Für die linke Klammer von Gl. 1 erhalten wir.

      (Gl. 52)

      (Gl. 53)

Für 8*x₂ erhalten wir.

      (Gl. 54)

Für die rechte Klammer von Gl. 1 erhalten wir.

      (Gl. 55)

      (Gl. 56)

Wir setzen Gl. 53 und Gl. 56 in Gl. 1 ein.

      (Gl. 57)

Es gilt.

      (Gl. 58)

Mit Hilfe von Gl. 58 erhalten wir aus Gl. 57.

      (Gl. 59)

      (Gl. 60)

      (Gl. 61)

Kontrolle 3

Zur Kontrolle setzen wir x₃ in Gl. 1 ein.

      (Gl. 1)

      (Gl. 30)

      (Gl. 62)

      (Gl. 63)

      (Gl. 64)

      (Gl. 65)

Kontrolle 4

Zur Kontrolle setzen wir x₄ in Gl. 1 ein.

      (Gl. 1)

      (Gl. 31)

      (Gl. 66)

      (Gl. 67)

      (Gl. 68)

      (Gl. 69)

Anhang 1

      (Gl. 2)

Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt.

      (Gl. 70)

      (Gl. 71)

      (Gl. 72)

      (Gl. 3)

      (Gl. 4)

Anhang 2

      (Gl. 6)

Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt.

      (Gl. 70)

      (Gl. 71)

      (Gl. 73)

      (Gl. 7)

      (Gl. 8)

Anhang 3

      (Gl. 19)

Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt.

      (Gl. 70)

      (Gl. 71)

      (Gl. 74)

      (Gl. 20)

      (Gl. 21)

Anhang 4

      (Gl. 23)

Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt.

      (Gl. 70)

      (Gl. 71)

      (Gl. 75)

      (Gl. 24)

      (Gl. 25)

Anhang 5

      (Gl. 27)

Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt.

      (Gl. 70)

      (Gl. 71)

      (Gl. 76)

      (Gl. 77)

      (Gl. 78)

Anhang 6

Wenn man die Klammern ausmultipliziert erhält man ein Polynom 4. Grades das natürlich auch lösbar ist.

Aus Gleichung 1.

      (Gl. 1)

      (Gl. 79)

      (Gl. 80)

      (Gl. 81)

Aus Gleichung 15.

      (Gl. 15)

      (Gl. 82)

      (Gl. 80)

      (Gl. 81)

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