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Aufgabe 64

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      (Gl. 1)

Es gilt.

      (Gl. 2)       (Gl. 3)

Mit Hilfe von Gl. 2 und Gl. 3 erhalten wir aus Gl. 1.

      (Gl. 4)

2² ersetzen wir durch 4.

      (Gl. 5)

Wir substituieren mit t.

      (Gl. 6)

Gl. 6 setzen wir in Gl. 5 ein.

      (Gl. 7)

Wir multiplizieren beide Seiten mit t.

      (Gl. 8)

Wir teilen beide Seiten durch 4.

      (Gl. 9)

Wir subtrahieren auf beiden Seiten 4 t.

      (Gl. 10)

Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt.

      (Gl. 11)

      (Gl. 12)

Wir wenden Gl. 12 auf Gl. 10 an.

      (Gl. 13)

      (Gl. 14)

Für t erhalten wir.

      (Gl. 15)

Wir machen die Substitution wieder Rückgängig und setzen Gl. 15 in Gl. 6 ein.

      (Gl. 16)

Beide Seiten logarithmieren wir.

      (Gl. 17)

Es gilt.

      (Gl. 18)

Mit Hilfe von Gl. 18 erhalten wir aus Gl. 17.

      (Gl. 19)

Beide Seiten teilen wir durch log 2.

      (Gl. 20)

Für die Kettenregel gilt (zu einem Zahlenbeispiel siehe Anhang 2).

      (Gl. 21)       (Gl. 22)

Mit Hilfe von Gl. 22 erhalten wir aus Gl. 20.

      (Gl. 23)

      (Gl. 24)

Das Ergebnis mit einem Lorarithmus der Basis 2.

      (Gl. 25)       (Gl. 26)

Das Ergebnis mit einem Lorarithmus der Basis 10.

      (Gl. 27)       (Gl. 28)

Kontrolle 1

      (Gl. 5)

Zur Kontrolle setzen wir Gl. 16 in Gl. 5 ein.

      (Gl. 29)

Wir bringen Gl. 29 auf einen Hauptnenner.

      (Gl. 30)

Es gilt.

      (Gl. 31)

Mit Hilfe von Gl. 31 erhalten wir aus Gl. 30.

      (Gl. 32)

      (Gl. 33)

Wir können einmal 4 ausklammern.

      (Gl. 34)

Die 1 und 7 fassen wir zusammen.

      (Gl. 35)

Wir können erneut einmal 4 ausklammern und die Klammer kürzen. Das Ergebnis ist 16.

      (Gl. 36)

Kontrolle 2

      (Gl. 5)

Zur Kontrolle setzen wir Gl. 23 in Gl. 5 ein.

      (Gl. 37)

Es gilt.

      (Gl. 38)

Mit Hilfe von Gl. 38 erhalten wir aus Gl. 37.

      (Gl. 29)

Der Rest der Berechnung ist dann identisch mit Kontrolle 1.

Anhang 1

Ein paar Grundlagen zum Logarithmus

      (Gl. 39)

      (Gl. 40)

      (Gl. 41)

Ein Beispiel für den dekadischen Logarithmus (Basis 10).

      (Gl. 42)

      (Gl. 43)

      (Gl. 44)

      (Gl. 45)

Ein Beispiel für den natürlichen Logarithmus (Basis e).

      (Gl. 46)

      (Gl. 47)

      (Gl. 48)

      (Gl. 49)

Anhang 2

Ein Zahlenbeispiel für Gl. 22, hier mit Basis 10 und Basis e.

      (Gl. 50)

      (Gl. 51)

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