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8. Die Bernoulli-Zahlen

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Die Bernoulli-Zahlen [] wurden nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654 - 1705) benannt, sie können mit folgender Formel berechnet werden (Bernoulli-Formel.py, Bernoulli-Formel-Dezimal.py).

Mit Hilfe der Binominalkoeffizienten läßt sich die Formel umstellen.

Die folgende Tabelle zeigt die Bernoulli-Zahlen bis n = 50 (Bernoulli-Zahlen.py).

n Zähler Nenner Bn
0 1 1 1,0000000000
1 -1 2 -0,5000000000
2 1 6 0,1666666667
3 0
4 -1 30 -0,0333333333
5 0
6 1 42 0,0238095238
7 0
8 -1 30 -0,0333333333
9 0
10 5 66 0,0757575758
11 0
12 -691 2730 -0,2531135531
13 0
14 7 6 1,1666666667
15 0
16 -3617 510 -7,0921568627
17 0
18 43867 798 54,9711779449
19 0
20 -174611 330 -529,1242424242
21 0
22 854513 138 6192,1231884058
23 0
24 -236364091 2730 -86580,2531135531
25 0
26 8553103 6 1425517,1666666667
27 0
28 -23749461029 870 -27298231,0678160920
29 0
30 8615841276005 14322 601580873,9006423684
31 0
32 -7709321041217 510 -15116315767,0921568627
33 0
34 2577687858367 6 429614643061,1666666667
35 0
36 -26315271553053477373 1919190 -13711655205088,3327721591
37 0
38 2929993913841559 6 488332318973593,1666666667
39 0
40 -261082718496449122051 13530 -19296579341940068,1486326681
41 0
42 1520097643918070802691 1806 841693047573682615,0005537099
43 0
44 -27833269579301024235023 690 -40338071854059455413,0768115942
45 0
46 596451111593912163277961 282 2115074863808199160560,1453900709
47 0
48 -5609403368997817686249127547 46410 -120866265222965259346027,3119370825
49 0
50 495057205241079648212477525 66 7500866746076964366855720,0757575758

Für die Bernoulli-Zahlen gibt es eine interessante Näherungsformel (Bernoulli-Nahe.py). Ab n = 5 liegt die Abweichung unter 1 %.

n Näherung B2n Abweichung
1 0,0972178961538 0,166666666667 41,67 %
2 -0,0301642470987 -0,0333333333333 9,51 %
3 0,0230811240841 0,0238095238095 3,06 %
4 -0,032854133474 -0.0333333333333 1,44 %
5 0,0750544466199 0,0757575757576 0,93 %
6 -0,251300470845 -0,253113553114 0,72 %
7 1,15967299377 1,16666666667 0,60 %
8 -7,0552115323 -7,09215686275 0,52 %
9 54,7170871219 54,9711779449 0,46 %
10 -526,923824965 -529.124242424 0,42 %
11 6168,71268003 6192.12318841 0,38 %
12 -86280,1607365 -86580.2531136 0,35 %
13 1420955,71894 1425517.16667 0,32 %
14 -27217110,4539 -27298231.0678 0,30 %
15 599912195,825 601580873.901 0,28 %
16 -15077002848,2 -15116315767.1 0,26 %
17 428562985610,0 429614643061.0 0,24 %

Ein weitere interessante Eigenschaft der Bernoulli-Zahlen. Addiert man zur Bernoulli-Zahl die Kehrwerte der Primzahlzerlegung des Nenners erhält man immer eine ganze Zahl. Einige Beispiele:

B2:
B4:
B6:
B10:
B12:
B14:
B16:
B18:
B20:
B22:

Eine andere Definition der Bernoulli-Zahlen (Bernoulli-ex.py).

Die Bernoulli-Zahlen lassen sich auch rekursiv berechnen (mit B0 = 1).

Ein paar Beispiele

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