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9. Die Primzahlen

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Die Primzahlen [] sind natürliche Zahlen die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. Die ersten 10000 Primzahlen (Primzahlen.py).

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271

Eine Auswertung der ersten 100000 Primzahlen.

Ziffer Anzahl (alle) Anzahl (letzte)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
46188       
102370       
55213       
72717       
47647       
47525       
47269       
72319       
47174       
72062       
0       
24967       
1       
25007       
0       
1       
0       
25015       
0       
25009       

Primfaktorzerlegung [53]: Jede positive natürliche Zahl läßt sich als Produkt aus Primzahlen darstellen (Primfaktorzerlegung.py).
Ein paar Beispiele.

30 2 * 3 * 5
1001 7 * 11 * 13
6936 2 * 2 * 2 * 3 * 17 * 17
10000 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 * 5
11227 103 * 109

Goldbachsche Vermutung

Es gibt eine starke und schwache Goldbachsche Vermutung, die starke lautet:

Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Primzahlen, z.B.

  4 = 2 + 2   24 = 5 + 19
  24 = 7 + 17
  24 = 11 + 13
  6 = 3 + 3   26 = 3 + 23
  26 = 7 + 19
  26 = 13 + 13
  8 = 3 + 5   28 = 5 + 23
  28 = 11 + 17
  10 = 5 + 5   30 = 7 + 23
  30 = 11 + 19
  30 = 13 + 17
  12 = 5 + 7   32 = 3 + 29
  32 = 13 + 19
  14 = 3 + 11
  14 = 7 + 7
  34 = 3 + 31
  34 = 5 + 29
  34 = 11 + 23
  34 = 17 + 17
  16 = 3 + 13
  16 = 5 + 11
  36 = 5 + 31
  36 = 7 + 29
  36 = 13 + 23
  36 = 17 + 19
  18 = 5 + 13
  18 = 7 + 11
  38 = 7 + 31
  38 = 19 + 19
  20 = 3 + 17
  20 = 7 + 13
  40 = 3 + 37
  40 = 11 + 29
  40 = 17 + 23
  22 = 3 + 19
  22 = 5 + 17
  22 = 11 + 11
  42 = 5 + 37
  42 = 11 + 31
  42 = 13 + 29
  42 = 19 + 23

Die schwache Goldbachsche Vermutung lautet:

Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist die Summe dreier Primzahlen, z.B.

  7 = 2 + 2 + 3   27 = 2 + 2 + 23
  27 = 3 + 3 + 19
  27 = 3 + 5 + 17
  27 = 7 + 7 + 13
  9 = 2 + 2 + 5
  9 = 3 + 3 + 3
  29 = 5 + 5 + 19
  29 = 5 + 7 + 17
  29 = 5 + 11 + 13
  29 = 7 + 11 + 11
  11 = 3 + 3 + 5   31 = 3 + 5 + 23
  31 = 5 + 7 + 19
  31 = 7 + 7 + 17
  31 = 7 + 11 + 13
  13 = 3 + 3 + 7
  13 = 3 + 5 + 5
  33 = 2 + 2 + 29
  33 = 5 + 5 + 23
  33 = 7 + 7 + 19
  33 = 5 + 11 + 17
  33 = 7 + 13 + 13
  33 = 11 + 11 + 11
  15 = 2 + 2 + 11
  15 = 3 + 5 + 7
  15 = 5 + 5 + 5
  35 = 2 + 2 + 31
  35 = 3 + 3 + 29
  35 = 5 + 7 + 23
  35 = 5 + 11 + 19
  35 = 7 + 11 + 17
  35 = 11 + 11 + 13
  17 = 2 + 2 + 13
  17 = 3 + 7 + 7
  17 = 3 + 3 + 11
  37 = 3 + 3 + 31
  37 = 3 + 5 + 29
  37 = 7 + 7 + 23
  37 = 7 + 11 + 19
  37 = 7 + 13 + 17
  37 = 11 + 13 + 13
  19 = 3 + 3 + 13
  19 = 3 + 5 + 11
  19 = 5 + 7 + 7
  39 = 3 + 5 + 31
  39 = 5 + 5 + 29
  39 = 5 + 11 + 23
  39 = 7 + 13 + 19
  39 = 11 + 11 + 17
  39 = 13 + 13 + 13
  21 = 2 + 2 + 17
  21 = 7 + 7 + 7
  41 = 2 + 2 + 37
  41 = 5 + 5 + 31
  41 = 5 + 7 + 29
  41 = 5 + 13 + 23
  41 = 5 + 17 + 19
  41 = 7 + 11 + 23
  41 = 11 + 11 + 19
  41 = 11 + 13 + 17
  23 = 5 + 5 + 13
  23 = 3 + 3 + 17
  23 = 5 + 7 + 11
  43 = 3 + 3 + 37
  43 = 3 + 11 + 29
  43 = 3 + 17 + 23
  43 = 5 + 7 + 31
  43 = 7 + 7 + 29
  43 = 7 + 13 + 23
  43 = 7 + 17 + 19
  43 = 11 + 13 + 19
  43 = 13 + 13 + 17
  25 = 7 + 7 + 11
  25 = 3 + 5 + 17
  25 = 5 + 7 + 13
  
  45 = 2 + 2 + 41
  45 = 3 + 5 + 37
  45 = 3 + 11 + 31
  45 = 3 + 19 + 23
  45 = 5 + 11 + 29
  45 = 5 + 17 + 23
  45 = 7 + 7 + 31
  45 = 11 + 11 + 23
  45 = 13 + 13 + 19

Von Goldbachsch gibt es noch eine weitere Vermutung die aber inzwischen widerlegt wurde:

Jede ungerade Zahl n läßt sich als Summe aus einer Primzahl p und dem Doppelten einer Quadratzahl darstellen. n = p + 2*b2

Wenn man b = 0 zuläßt gibt für diese Vermutung mit 5777 und 5993 nur zwei Ausnahmen. Alle Primzahlen erfüllen diese Vermutung da p = p + 2*02.

Wenn b ungleich 0 gilt kommem weitere 8 Zahlen (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) hinzu, diese Zahlen nennt man Stern Primzahlen da es alles Primzahlen sind. Nimmt man 5777 und 5993, die keine Primzahlen sind, hinzu erhält man die Stern Zahlen.


John Friedlander und Henryk Iwaniec Vermutung

Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form a2 + b4, wobei a und b natürliche Zahlen sind.

Diese Vermutung wurde bewiesen.

Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form a2 + 4b2, wenn a und b Primzahlen sind.

Diese Vermutung wurde bisher nicht bewiesen.


Trunkierbare Primzahlen

Eine trunkierbare Primzahl ist eine Primzahl, die nach Abschneiden von Ziffern eine Primzahl bleibt. Dabei unterscheidet man rechtstrunkierbare, linkstrunkierbare und beidseitig trunkierbare Primzahlen.

Es gibt genau 83 rechtstrunkierbare Primzahlen.

2
71
379
2399
7331
37337
293999
2339933
37337999
3
73
593
2939
7333
37339
373379
2399333
59393339
5
79
599
3119
7393
37397
373393
2939999
73939133
7
233
719
3137
23333
59393
593933
3733799
 
23
239
733
3733
23339
59399
593993
5939333
 
29
293
739
3739
23399
71933
719333
7393913
 
31
311
797
3793
23993
73331
739391
7393931
 
37
313
2333
3797
29399
73939
739393
7393933
 
53
17
2339
5939
31193
233993
739397
23399339
 
59
373
2393
7193
31379
239933
739399
29399999
 

Ich habe bei den rechtstrunkierbaren Primzahlen ausgewertet welche Ziffern wie häufig in den Zahlen vorkommen.

Ziffer Anzahl (alle) Anzahl (letzte)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0         
22         
24         
156         
0         
12         
0         
49         
0         
107         
0         
7         
1         
35         
0         
1         
0         
9         
0         
30         

Ausser der 2, die selbst eine Primzahl ist, kommen keine weiteren geraden Zahlen vor. Die 2 steht auch immer am Anfang der Primzahl. Die 3 und die 9 kommen am häufigsten vor.

Bei den linkstrunkierbaren Primzahlen (es gibt 4260) sieht das etwas anders aus, die Null ist dabei per Definition ausgeschlossen.

Ziffer Anzahl (alle) Anzahl (letzte)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0       
3554       
2999       
7748       
3259       
2917       
6752       
5509       
3040       
5361       
0       
0       
1       
2127       
0       
1       
0       
2131       
0       
0       

Die 2 und die 5 kommen nur einmal vor, damit sind die einstelligen Primzahlen 2 und 5 gemeint. Die 9 kommt als letztes Ziffer nicht vor da sie selbst keine Primzahl ist.

Die 5 kann nicht letzte Ziffer sein da alle zweistelligen Zahlen mit einer 5 am Ende keine Primzahlen sind. Sie sind durch 5 teilbar.


Sophie Germain Primzahlen

Eine Primzahl p nennt man Sophie-Germain-Primzahl, wenn auch 2p + 1 eine Primzahl ist (2p + 1 ist dann eine sichere Primzahl).

Eine Auswertung der ersten 100000 Sophie Germain Primzahlen.

Ziffer Anzahl (alle) Anzahl (letzte)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
54079       
138767       
60752       
93763       
59858       
59940       
59509       
59541       
59060       
89542       
0       
33343       
1       
33407       
0       
1       
0       
0       
0       
33248       

Als letzte Ziffern kommen nur die Zahlen 1, 3 und 9 in Frage. Alle drei Zahlen (1, 3, 9) kommen fast gleich häufig vor.

Die 2 und die 5 kommen nur einmal, als Primzahl 2 und 5, vor.

Zahlen mit geraden Zahlen (0, 2, 4, 6, 8) am Ende können keine Primzahlen sein (bis auf die Primzahl 2).

Bleibt noch die Frage warum es keine Sophie Germain Primzahlen mit einer 7 am Ende gibt. Ein paar Beispiele.

p q = 2p + 1 Primfaktoren
17        
37        
47        
67        
97        
107        
127        
137        
157        
167        
35        
75        
95        
135        
195        
215        
255        
275        
315        
335        
5, 7      
3, 5, 5      
5, 19      
3, 3, 3, 5      
3, 5, 13      
5, 43      
3, 5, 17      
5, 5, 11      
3, 3, 5, 7      
5, 67      

Dieser Zusammenhang läßt sich leicht beweisen.

          p = 10k + 7

          q = 2p + 1 = 20k + 14 + 1

          q = 20k + 15 = 5(4k + 3)

D.h. q ist immer durch 5 teilbar und kann daher keine Primzahl sein.


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