9. Die Primzahlen
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Die Primzahlen [] sind natürliche Zahlen die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. Die ersten 10000 Primzahlen (Primzahlen.py).
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,
227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271
Primfaktorzerlegung [53]: Jede positive natürliche Zahl läßt sich als Produkt aus Primzahlen darstellen (Primfaktorzerlegung.py).
Ein paar Beispiele.
| 30 | 2 * 3 * 5 |
| 1001 | 7 * 11 * 13 |
| 6936 | 2 * 2 * 2 * 3 * 17 * 17 |
| 10000 | 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 * 5 |
| 11227 | 103 * 109 |
Goldbachsche Vermutung
Es gibt eine starke und schwache Goldbachsche Vermutung, die starke lautet:
Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Primzahlen, z.B.
| 4 = 2 + 2 | 24 = 5 + 19 24 = 7 + 17 24 = 11 + 13 |
| 6 = 3 + 3 | 26 = 3 + 23 26 = 7 + 19 26 = 13 + 13 |
| 8 = 3 + 5 | 28 = 5 + 23 28 = 11 + 17 |
| 10 = 5 + 5 | 30 = 7 + 23 30 = 11 + 19 30 = 13 + 17 |
| 12 = 5 + 7 | 32 = 3 + 29 32 = 13 + 19 |
| 14 = 3 + 11 14 = 7 + 7 |
34 = 3 + 31 34 = 5 + 29 34 = 11 + 23 34 = 17 + 17 |
| 16 = 3 + 13 16 = 5 + 11 |
36 = 5 + 31 36 = 7 + 29 36 = 13 + 23 36 = 17 + 19 |
| 18 = 5 + 13 18 = 7 + 11 |
38 = 7 + 31 38 = 19 + 19 |
| 20 = 3 + 17 20 = 7 + 13 |
40 = 3 + 37 40 = 11 + 29 40 = 17 + 23 |
| 22 = 3 + 19 22 = 5 + 17 22 = 11 + 11 |
42 = 5 + 37 42 = 11 + 31 42 = 13 + 29 42 = 19 + 23 |
Die schwache Goldbachsche Vermutung lautet:
Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist die Summe dreier Primzahlen, z.B.
| 7 = 2 + 2 + 3 | 27 = 2 + 2 + 23 27 = 3 + 3 + 19 27 = 3 + 5 + 17 27 = 7 + 7 + 13 |
| 9 = 2 + 2 + 5 9 = 3 + 3 + 3 |
29 = 5 + 5 + 19 29 = 5 + 7 + 17 29 = 5 + 11 + 13 29 = 7 + 11 + 11 |
| 11 = 3 + 3 + 5 | 31 = 3 + 5 + 23 31 = 5 + 7 + 19 31 = 7 + 7 + 17 31 = 7 + 11 + 13 |
| 13 = 3 + 3 + 7 13 = 3 + 5 + 5 |
33 = 2 + 2 + 29 33 = 5 + 5 + 23 33 = 7 + 7 + 19 33 = 5 + 11 + 17 33 = 7 + 13 + 13 33 = 11 + 11 + 11 |
| 15 = 2 + 2 + 11 15 = 3 + 5 + 7 15 = 5 + 5 + 5 |
35 = 2 + 2 + 31 35 = 3 + 3 + 29 35 = 5 + 7 + 23 35 = 5 + 11 + 19 35 = 7 + 11 + 17 35 = 11 + 11 + 13 |
| 17 = 2 + 2 + 13 17 = 3 + 7 + 7 17 = 3 + 3 + 11 |
37 = 3 + 3 + 31 37 = 3 + 5 + 29 37 = 7 + 7 + 23 37 = 7 + 11 + 19 37 = 7 + 13 + 17 37 = 11 + 13 + 13 |
| 19 = 3 + 3 + 13 19 = 3 + 5 + 11 19 = 5 + 7 + 7 |
39 = 3 + 5 + 31 39 = 5 + 5 + 29 39 = 5 + 11 + 23 39 = 7 + 13 + 19 39 = 11 + 11 + 17 39 = 13 + 13 + 13 |
| 21 = 2 + 2 + 17 21 = 7 + 7 + 7 |
41 = 2 + 2 + 37 41 = 5 + 5 + 31 41 = 5 + 7 + 29 41 = 5 + 13 + 23 41 = 5 + 17 + 19 41 = 7 + 11 + 23 41 = 11 + 11 + 19 41 = 11 + 13 + 17 |
| 23 = 5 + 5 + 13 23 = 3 + 3 + 17 23 = 5 + 7 + 11 |
43 = 3 + 3 + 37 43 = 3 + 11 + 29 43 = 3 + 17 + 23 43 = 5 + 7 + 31 43 = 7 + 7 + 29 43 = 7 + 13 + 23 43 = 7 + 17 + 19 43 = 11 + 13 + 19 43 = 13 + 13 + 17 |
| 25 = 7 + 7 + 11 25 = 3 + 5 + 17 25 = 5 + 7 + 13 |
45 = 2 + 2 + 41 45 = 3 + 5 + 37 45 = 3 + 11 + 31 45 = 3 + 19 + 23 45 = 5 + 11 + 29 45 = 5 + 17 + 23 45 = 7 + 7 + 31 45 = 11 + 11 + 23 45 = 13 + 13 + 19 |
Von Goldbachsch gibt es noch eine weitere Vermutung die aber inzwischen widerlegt wurde:
Jede ungerade Zahl n läßt sich als Summe aus einer Primzahl p und dem Doppelten einer Quadratzahl darstellen. n = p + 2*b2
Wenn man b = 0 zuläßt gibt für diese Vermutung mit 5777 und 5993 nur zwei Ausnahmen. Alle Primzahlen erfüllen diese Vermutung da p = p + 2*02.
Wenn b ungleich 0 gilt kommem weitere 8 Zahlen (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) hinzu, diese Zahlen nennt man Stern Primzahlen da es alles Primzahlen sind. Nimmt man 5777 und 5993, die keine Primzahlen sind, hinzu erhält man die Stern Zahlen.
John Friedlander und Henryk Iwaniec Vermutung
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form a2 + b4, wobei a und b natürliche Zahlen sind.
Diese Vermutung wurde bewiesen.
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form a2 + 4b2, wenn a und b Primzahlen sind.
Diese Vermutung wurde bisher nicht bewiesen.
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