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Die Primzahlen [] sind natürliche Zahlen die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. Die ersten 10000 Primzahlen (Primzahlen.py).
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,
227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271
Eine Auswertung der ersten 100000 Primzahlen.
Ziffer | Anzahl (alle) | Anzahl (letzte) |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
46188 102370 55213 72717 47647 47525 47269 72319 47174 72062 |
0 24967 1 25007 0 1 0 25015 0 25009 |
Primfaktorzerlegung [53]: Jede positive natürliche Zahl läßt sich als Produkt aus Primzahlen darstellen (Primfaktorzerlegung.py).
Ein paar Beispiele.
30 | 2 * 3 * 5 |
1001 | 7 * 11 * 13 |
6936 | 2 * 2 * 2 * 3 * 17 * 17 |
10000 | 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 * 5 |
11227 | 103 * 109 |
Goldbachsche Vermutung
Es gibt eine starke und schwache Goldbachsche Vermutung, die starke lautet:
Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Primzahlen, z.B.
4 = 2 + 2 | 24 = 5 + 19 24 = 7 + 17 24 = 11 + 13 |
6 = 3 + 3 | 26 = 3 + 23 26 = 7 + 19 26 = 13 + 13 |
8 = 3 + 5 | 28 = 5 + 23 28 = 11 + 17 |
10 = 5 + 5 | 30 = 7 + 23 30 = 11 + 19 30 = 13 + 17 |
12 = 5 + 7 | 32 = 3 + 29 32 = 13 + 19 |
14 = 3 + 11 14 = 7 + 7 |
34 = 3 + 31 34 = 5 + 29 34 = 11 + 23 34 = 17 + 17 |
16 = 3 + 13 16 = 5 + 11 |
36 = 5 + 31 36 = 7 + 29 36 = 13 + 23 36 = 17 + 19 |
18 = 5 + 13 18 = 7 + 11 |
38 = 7 + 31 38 = 19 + 19 |
20 = 3 + 17 20 = 7 + 13 |
40 = 3 + 37 40 = 11 + 29 40 = 17 + 23 |
22 = 3 + 19 22 = 5 + 17 22 = 11 + 11 |
42 = 5 + 37 42 = 11 + 31 42 = 13 + 29 42 = 19 + 23 |
Die schwache Goldbachsche Vermutung lautet:
Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist die Summe dreier Primzahlen, z.B.
7 = 2 + 2 + 3 | 27 = 2 + 2 + 23 27 = 3 + 3 + 19 27 = 3 + 5 + 17 27 = 7 + 7 + 13 |
9 = 2 + 2 + 5 9 = 3 + 3 + 3 |
29 = 5 + 5 + 19 29 = 5 + 7 + 17 29 = 5 + 11 + 13 29 = 7 + 11 + 11 |
11 = 3 + 3 + 5 | 31 = 3 + 5 + 23 31 = 5 + 7 + 19 31 = 7 + 7 + 17 31 = 7 + 11 + 13 |
13 = 3 + 3 + 7 13 = 3 + 5 + 5 |
33 = 2 + 2 + 29 33 = 5 + 5 + 23 33 = 7 + 7 + 19 33 = 5 + 11 + 17 33 = 7 + 13 + 13 33 = 11 + 11 + 11 |
15 = 2 + 2 + 11 15 = 3 + 5 + 7 15 = 5 + 5 + 5 |
35 = 2 + 2 + 31 35 = 3 + 3 + 29 35 = 5 + 7 + 23 35 = 5 + 11 + 19 35 = 7 + 11 + 17 35 = 11 + 11 + 13 |
17 = 2 + 2 + 13 17 = 3 + 7 + 7 17 = 3 + 3 + 11 |
37 = 3 + 3 + 31 37 = 3 + 5 + 29 37 = 7 + 7 + 23 37 = 7 + 11 + 19 37 = 7 + 13 + 17 37 = 11 + 13 + 13 |
19 = 3 + 3 + 13 19 = 3 + 5 + 11 19 = 5 + 7 + 7 |
39 = 3 + 5 + 31 39 = 5 + 5 + 29 39 = 5 + 11 + 23 39 = 7 + 13 + 19 39 = 11 + 11 + 17 39 = 13 + 13 + 13 |
21 = 2 + 2 + 17 21 = 7 + 7 + 7 |
41 = 2 + 2 + 37 41 = 5 + 5 + 31 41 = 5 + 7 + 29 41 = 5 + 13 + 23 41 = 5 + 17 + 19 41 = 7 + 11 + 23 41 = 11 + 11 + 19 41 = 11 + 13 + 17 |
23 = 5 + 5 + 13 23 = 3 + 3 + 17 23 = 5 + 7 + 11 |
43 = 3 + 3 + 37 43 = 3 + 11 + 29 43 = 3 + 17 + 23 43 = 5 + 7 + 31 43 = 7 + 7 + 29 43 = 7 + 13 + 23 43 = 7 + 17 + 19 43 = 11 + 13 + 19 43 = 13 + 13 + 17 |
25 = 7 + 7 + 11 25 = 3 + 5 + 17 25 = 5 + 7 + 13 |
45 = 2 + 2 + 41 45 = 3 + 5 + 37 45 = 3 + 11 + 31 45 = 3 + 19 + 23 45 = 5 + 11 + 29 45 = 5 + 17 + 23 45 = 7 + 7 + 31 45 = 11 + 11 + 23 45 = 13 + 13 + 19 |
Von Goldbachsch gibt es noch eine weitere Vermutung die aber inzwischen widerlegt wurde:
Jede ungerade Zahl n läßt sich als Summe aus einer Primzahl p und dem Doppelten einer Quadratzahl darstellen. n = p + 2*b2
Wenn man b = 0 zuläßt gibt für diese Vermutung mit 5777 und 5993 nur zwei Ausnahmen. Alle Primzahlen erfüllen diese Vermutung da p = p + 2*02.
Wenn b ungleich 0 gilt kommem weitere 8 Zahlen (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) hinzu, diese Zahlen nennt man Stern Primzahlen da es alles Primzahlen sind. Nimmt man 5777 und 5993, die keine Primzahlen sind, hinzu erhält man die Stern Zahlen.
John Friedlander und Henryk Iwaniec Vermutung
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form a2 + b4, wobei a und b natürliche Zahlen sind.
Diese Vermutung wurde bewiesen.
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form a2 + 4b2, wenn a und b Primzahlen sind.
Diese Vermutung wurde bisher nicht bewiesen.
Trunkierbare Primzahlen
Eine trunkierbare Primzahl ist eine Primzahl, die nach Abschneiden von Ziffern eine Primzahl bleibt. Dabei unterscheidet man rechtstrunkierbare, linkstrunkierbare und beidseitig trunkierbare Primzahlen.
Es gibt genau 83 rechtstrunkierbare Primzahlen.
2 71 379 2399 7331 37337 293999 2339933 37337999 |
3 73 593 2939 7333 37339 373379 2399333 59393339 |
5 79 599 3119 7393 37397 373393 2939999 73939133 |
7 233 719 3137 23333 59393 593933 3733799 |
23 239 733 3733 23339 59399 593993 5939333 |
29 293 739 3739 23399 71933 719333 7393913 |
31 311 797 3793 23993 73331 739391 7393931 |
37 313 2333 3797 29399 73939 739393 7393933 |
53 17 2339 5939 31193 233993 739397 23399339 |
59 373 2393 7193 31379 239933 739399 29399999 |
Ich habe bei den rechtstrunkierbaren Primzahlen ausgewertet welche Ziffern wie häufig in den Zahlen vorkommen.
Ziffer | Anzahl (alle) | Anzahl (letzte) |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
0 22 24 156 0 12 0 49 0 107 |
0 7 1 35 0 1 0 9 0 30 |
Ausser der 2, die selbst eine Primzahl ist, kommen keine weiteren geraden Zahlen vor. Die 2 steht auch immer am Anfang der Primzahl. Die 3 und die 9 kommen am häufigsten vor.
Bei den linkstrunkierbaren Primzahlen (es gibt 4260) sieht das etwas anders aus, die Null ist dabei per Definition ausgeschlossen.
Ziffer | Anzahl (alle) | Anzahl (letzte) |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
0 3554 2999 7748 3259 2917 6752 5509 3040 5361 |
0 0 1 2127 0 1 0 2131 0 0 |
Die 2 und die 5 kommen nur einmal vor, damit sind die einstelligen Primzahlen 2 und 5 gemeint. Die 9 kommt als letztes Ziffer nicht vor da sie selbst keine Primzahl ist.
Die 5 kann nicht letzte Ziffer sein da alle zweistelligen Zahlen mit einer 5 am Ende keine Primzahlen sind. Sie sind durch 5 teilbar.
Sophie Germain Primzahlen
Eine Primzahl p nennt man Sophie-Germain-Primzahl, wenn auch 2p + 1 eine Primzahl ist (2p + 1 ist dann eine sichere Primzahl).
Eine Auswertung der ersten 100000 Sophie Germain Primzahlen.
Ziffer | Anzahl (alle) | Anzahl (letzte) |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
54079 138767 60752 93763 59858 59940 59509 59541 59060 89542 |
0 33343 1 33407 0 1 0 0 0 33248 |
Als letzte Ziffern kommen nur die Zahlen 1, 3 und 9 in Frage. Alle drei Zahlen (1, 3, 9) kommen fast gleich häufig vor.
Die 2 und die 5 kommen nur einmal, als Primzahl 2 und 5, vor.
Zahlen mit geraden Zahlen (0, 2, 4, 6, 8) am Ende können keine Primzahlen sein (bis auf die Primzahl 2).
Bleibt noch die Frage warum es keine Sophie Germain Primzahlen mit einer 7 am Ende gibt. Ein paar Beispiele.
p | q = 2p + 1 | Primfaktoren |
17 37 47 67 97 107 127 137 157 167 |
35 75 95 135 195 215 255 275 315 335 |
5, 7 3, 5, 5 5, 19 3, 3, 3, 5 3, 5, 13 5, 43 3, 5, 17 5, 5, 11 3, 3, 5, 7 5, 67 |
Dieser Zusammenhang läßt sich leicht beweisen.
p = 10k + 7
q = 2p + 1 = 20k + 14 + 1
q = 20k + 15 = 5(4k + 3)
D.h. q ist immer durch 5 teilbar und kann daher keine Primzahl sein.
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