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9. Die Primzahlen

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Die Primzahlen [] sind natürliche Zahlen die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. Die ersten 10000 Primzahlen (Primzahlen.py).

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271

Eine Auswertung der ersten 100000 Primzahlen.

Primfaktorzerlegung [53]: Jede positive natürliche Zahl läßt sich als Produkt aus Primzahlen darstellen (Primfaktorzerlegung.py).
Ein paar Beispiele.

Goldbachsche Vermutung

Es gibt eine starke und schwache Goldbachsche Vermutung, die starke lautet:

Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Primzahlen, z.B.

Die schwache Goldbachsche Vermutung lautet:

Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist die Summe dreier Primzahlen, z.B.

Von Goldbachsch gibt es noch eine weitere Vermutung die aber inzwischen widerlegt wurde:

Jede ungerade Zahl n läßt sich als Summe aus einer Primzahl p und dem Doppelten einer Quadratzahl darstellen. n = p + 2*b²

Wenn man b = 0 zuläßt gibt für diese Vermutung mit 5777 und 5993 nur zwei Ausnahmen. Alle Primzahlen erfüllen diese Vermutung da p = p + 2*0².

Wenn b ungleich 0 gilt kommem weitere 8 Zahlen (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) hinzu, diese Zahlen nennt man Stern Primzahlen da es alles Primzahlen sind. Nimmt man 5777 und 5993, die keine Primzahlen sind, hinzu erhält man die Stern Zahlen.

John Friedlander und Henryk Iwaniec Vermutung

Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form a² + b⁴, wobei a und b natürliche Zahlen sind.

Diese Vermutung wurde bewiesen. Ein paar Beispiele:

Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form a² + 4b², wenn a und b Primzahlen sind.

Diese Vermutung wurde bisher nicht bewiesen. Ein paar Beispiele:

Trunkierbare Primzahlen

Eine trunkierbare Primzahl ist eine Primzahl, die nach Abschneiden von Ziffern eine Primzahl bleibt. Dabei unterscheidet man rechtstrunkierbare, linkstrunkierbare und beidseitig trunkierbare Primzahlen.

Es gibt genau 83 rechtstrunkierbare Primzahlen.

Ich habe bei den rechtstrunkierbaren Primzahlen ausgewertet welche Ziffern wie häufig in den Zahlen vorkommen.

Ausser der 2, die selbst eine Primzahl ist, kommen keine weiteren geraden Zahlen vor. Die 2 steht auch immer am Anfang der Primzahl. Die 3 und die 9 kommen am häufigsten vor.

Bei den linkstrunkierbaren Primzahlen (es gibt 4260) sieht das etwas anders aus, die Null ist dabei per Definition ausgeschlossen.

Die 2 und die 5 kommen nur einmal vor, damit sind die einstelligen Primzahlen 2 und 5 gemeint. Die 9 kommt als letztes Ziffer nicht vor da sie selbst keine Primzahl ist.

Die 5 kann nicht letzte Ziffer sein da alle zweistelligen Zahlen mit einer 5 am Ende keine Primzahlen sind. Sie sind durch 5 teilbar.

Sophie Germain Primzahlen

Eine Primzahl p nennt man Sophie-Germain-Primzahl, wenn auch 2p + 1 eine Primzahl ist (2p + 1 ist dann eine sichere Primzahl).

Eine Auswertung der ersten 100000 Sophie Germain Primzahlen.

Als letzte Ziffern kommen nur die Zahlen 1, 3 und 9 in Frage. Alle drei Zahlen (1, 3, 9) kommen fast gleich häufig vor.

Die 2 und die 5 kommen nur einmal, als Primzahl 2 und 5, vor.

Zahlen mit geraden Zahlen (0, 2, 4, 6, 8) am Ende können keine Primzahlen sein (bis auf die Primzahl 2).

Bleibt noch die Frage warum es keine Sophie Germain Primzahlen mit einer 7 am Ende gibt. Ein paar Beispiele.

Dieser Zusammenhang läßt sich leicht beweisen.

          p = 10k + 7

          q = 2p + 1 = 20k + 14 + 1

          q = 20k + 15 = 5(4k + 3)

D.h. q ist immer durch 5 teilbar und kann daher keine Primzahl sein.

Repunit Primzahlen

Repunit Zahlen sind Zahlen die nur die Ziffer 1 enthalten, sie sind wie folgt definiert.

Die Repunit Zahlen lassen sich auch rekursiv berechnen.

Ein sehr kleiner Teil der Repunit Zahlen sind Primzahlen, z.B. R_n mit n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...

Die Repunit Zahlen von R₁ bis R₂₅ mit ihrer Primfaktorzerlegung, die 3 Primzahlen sind blau dargestellt.

Pythagoreische Primzahlen

Eine pythagoreische Primzahl ist wie folgt definiert: p = 4 n + 1.
Jede pythagoreische Primzahl kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden (p = a² + b²).
Die Primzahlen sind blau dargestellt.

Bis n = 50 gibt es 21 Primzahlen.

Nicht pythagoreische Primzahlen

Eine nicht pythagoreische Primzahl ist wie folgt definiert: p = 4 n + 3.
Die Primzahlen sind blau dargestellt.

Bis n = 50 gibt es 23 Primzahlen.

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