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7. Die Riemannsche Zeta-Funktion

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Die Riemannsche Zeta-Funktion [35, 36, 37, 38, 39, 40] ist wie folgt definiert (Zeta.py).

Reihenentwicklung für Zeta(2).

k = 1 1,00000000000
k = 10 1,54976773117
k = 100 1,63498390018
k = 1000 1,64393456668
k = 10000 1,64483407185
k = 100000 1,64492406690
k = 1000000 1,64493306685
k = 10000000 1,64493396685
k = 100000000 1,64493405783
1,64493406685

Reihenentwicklung für Zeta(3).

k = 1 1,00000000000
k = 10 1,19753198567
k = 100 1,20200740066
k = 1000 1,20205640366
k = 10000 1,20205689816
k = 100000 1,20205690311
k = 1000000 1,20205690315

Reihenentwicklung für Zeta(4).

k = 1 1,00000000000
k = 10 1,08203658349
k = 100 1,08232290534
k = 1000 1,08232323338
k = 10000 1,08232323371

Reihenentwicklung für Zeta(16).

k = 1 1,00000000000
k = 2 1,00001525879
k = 3 1,00001528202
k = 4 1,00001528225
k = 5 1,00001528226

Für einige Werte der Zeta Funktion gibt es schneller konvergierende Reihen, z.B für Zeta(3). Hier habe ich einfach alle Formeln aufgeführt die ich interessant fand, zu jeder Formel gibt es im Download Bereich ein Python Script.

Zeta1.py

Mit Hilfe der Binominalkoeffizienten läßt sich die Formel umstellen.

k = 1 1,25000000000
k = 2 1,19791666667
k = 3 1,20254629630
k = 4 1,20198826058
k = 5 1,20206762566
k = 6 1,20205509961
k = 7 1,20205722333
k = 8 1,20205684394
k = 9 1,20205691447
k = 10 1,20205690094
k = 11 1,20205690360
k = 12 1,20205690307
k = 13 1,20205690318
k = 14 1,20205690315

Zeta2.py

k = 1 1,50000000000
k = 2 1,62500000000
k = 3 1,64166666667
k = 4 1,64434523810
k = 5 1,64482142857
k = 6 1,64491161616
k = 7 1,64492945547
k = 8 1,64493309766
k = 9 1,64493385942
k = 10 1,64493402180
k = 11 1,64493405694
k = 12 1,64493406465
k = 13 1,64493406636
k = 14 1,64493406674
k = 15 1,64493406682
k = 16 1,64493406684
k = 17 1,64493406685

Zeta3.py

k = 1 1,05882352941
k = 2 1,08088235294
k = 3 1,08218954248
k = 4 1,08230771475
k = 5 1,08232116013
k = 6 1,08232292851
k = 7 1,08232318550
k = 8 1,08232322567
k = 9 1,08232323231
k = 10 1,08232323346
k = 11 1,08232323366
k = 12 1,08232323370
k = 13 1,08232323371

Zeta4.py

k = 1 1,18518518519
k = 10 1,20146779823
k = 100 1,20204990122
k = 1000 1,20205683187
k = 10000 1,20205690245
k = 100000 1,20205690315

Zeta5.py

k = 1 1,33333333333
k = 10 1,20148863522
k = 100 1,20205624649
k = 1000 1,20205690249
k = 10000 1,20205690315

Zeta6.py

k = 1 1,20192307692
k = 2 1,20205479452
k = 3 1,20205679988
k = 4 1,20205689332
k = 5 1,20205690171
k = 6 1,20205690287
k = 7 1,20205690309
k = 8 1,20205690314
k = 9 1,20205690315

Zeta7.py


mit

k = 0 1,20206404321
k = 1 1,20205690311
k = 2 1,20205690315

Zeta8.py


mit

k = 0 1,20312500000
k = 1 1,20205600566
k = 2 1,20205690394
k = 3 1,20205690315

Zeta9.py

k = 1 1,16666666667
k = 10 1,20249038829
k = 100 1,20205754061
k = 1000 1,20205690382
k = 10000 1,20205690315

Zeta10.py

k = 1 1,19970987654
k = 10 1,20207461220
k = 100 1,20205692701
k = 1000 1,20205690318
k = 10000 1,20205690315

Zeta20.py

k = 1 1,20148863522
k = 10 1,20206080095
k = 100 1,20205690832
k = 1000 1,20205690316

Zeta21.py

k = 1 1,20322973365
k = 10 1,20203932158
k = 100 1,20205687671
k = 1000 1,20205690313
k = 10000 1,20205690316

Zeta11.py

k = 1 1,20183976288
k = 10 1,20205833500
k = 100 1,20205690504
k = 1000 1,20205690315

Zeta12.py

k = 1 1,20833333333
k = 2 1,20196759259
k = 3 1,20205864198
k = 4 1,20205686353
k = 5 1,20205690415
k = 6 1,20205690313
k = 7 1,20205690315

Zeta13.py


mit

k = 1 1,20204761905
k = 2 1,20205697766
k = 3 1,20205690245
k = 4 1,20205690317
k = 5 1,20205690315

Zeta14.py

k = 1 1,20205777548
k = 2 1,20205690364
k = 3 1,20205690315

Zeta15.py

k = 1 1,00834933188
k = 2 1,00834927739
k = 3 1,00834927738

Zeta16.py

k = 1 1,19543950751
k = 2 1,20197165661
k = 3 1,20205534282
k = 4 1,20205686853
k = 5 1,20205690229
k = 6 1,20205690314
k = 7 1,20205690315

Zeta17.py

k = 1 1,03551932209
k = 2 1,03691970196
k = 3 1,03692767223
k = 4 1,03692775397
k = 5 1,03692775512
k = 6 1,03692775514

Zeta18.py

k = 1 1,00800730531
k = 2 1,00834840948
k = 3 1,00834927236
k = 4 1,00834927734
k = 5 1,00834927738

Zeta19.py

k = 1 1,00047303058
k = 2 1,00049417802
k = 3 1,00049418858
k = 4 1,00049418860

Für ganze gerade Zahlen läßt sich die Zeta Funktion mit Hilfe von pi ausdrücken.

Bei den Nennern handelt es sich um die Integer Reihe A002432 [41].

Für Zeta(2) gib es eine interessante Berechnung als Doppelreihe.

i, j = 1000 1,64293506651

Nach 1000 mal 1000 Rechenschritten sind nur 2 Nachkommastellen korrekt.

Es gibt auch einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und den Primzahlen (Zeta-Prim.py).

Für die Berechnung habe ich die ersten 10000 Primzahlen verwendet. Nur für n = 2 wird die Geanauigkeit von 11 Stellen nach dem Komma nicht erreicht.

n = 2 1,64493281127
n = 3 1,20205690316
n = 4 1,08232323371
n = 5 1,03692775514
n = 6 1,01734306198
n = 7 1,00834927738
n = 8 1,00407735620
n = 9 1,00200839283
n = 10 1,00099457513
n = 11 1,00049418860
n = 12 1,00024608655
n = 13 1,00012271335
n = 14 1,00006124814
n = 15 1,00003058824
n = 16 1,00001528226
n = 17 1,00000763720
n = 18 1,00000381729
n = 19 1,00000190821
n = 20 1,00000095396

Mit Hilfe der Riemannschen Zeta-Funktion läßt sich auch die Kreiszahl pi berechnen (Zeta-Pi.py, Zeta-Prim-Dezimal.py).

k = 10 2,97263582002642005920410156250
k = 50 3,14159095462369478307859026190
k = 100 3,14159265358770190323584980612

Werte der Zeta Funktion für n = 2 bis n = 17 mit 98 Nachkommastellen.

n = 2 1,64493406684822643647241516664602518921894990120679843773555822937000747040320087383362890061975870
n = 3 1,20205690315959428539973816151144999076498629234049888179227155534183820578631309018645587360933526
n = 4 1,08232323371113819151600369654116790277475095191872690768297621544412061618696884655690963594169991
n = 5 1,03692775514336992633136548645703416805708091950191281197419267790380358978628148456004310655713333
n = 6 1,01734306198444913971451792979092052790181749003285356184240866400433218290195789788277397793853517
n = 7 1,00834927738192282683979754984979675959986356056523870641728313657160147831735573534609696891385132
n = 8 1,00407735619794433937868523850865246525896079064985002032911020265258295257474881439528723037237197
n = 9 1,00200839282608221441785276923241206048560585139488875654859661590978505339025839895039306912716958
n = 10 1,00099457512781808533714595890031901700601953156447751725778899463629146515191295439704196861038565
n = 11 1,00049418860411946455870228252646993646860643575820861711914143610005405979821981470259184302356062
n = 12 1,00024608655330804829863799804773967096041608845800340453304095213325201968194091304904280855190069
n = 13 1,00012271334757848914675183652635739571427510589550984513670267162089672682984420981289271395326813
n = 14 1,00006124813505870482925854510513533374748169616915454948275520225286294102317742087665978297199846
n = 15 1,00003058823630702049355172851064506258762794870685817750656993289333226715634227957307233434701754
n = 16 1,00001528225940865187173257148763672202323738899047153115310520358878708702795315178628560484632246
n = 17 1,00000763719763789976227360029356302921308824909026267909537984397293564329028245934208173863691667

Die Zeta Funktion (gerade n) läßt sich auch mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen ausdrücken.

Zum Beispiel.

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