2.130. Rekurrenzplot Rechteckkurve (Fourier)
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Auch von Fourierreihenentwicklungen lassen sich Rekurrenzplots erstellen, das macht wahrscheinlich nicht allzuviel Sinn aber es sieht interessant aus.
Fangen wir mit der Rechteckkurve an, auf die Theorie der Fourierreihen möchte ich hier nicht näher eingehen. Die Rechteckkurve wird aus der Summe unendlich vieler trigonometrischer Funktionen gebildet. Je mehr Glieder verwendet werden desto exakter ist die Näherung. Die Qualität der Näherung kann durch den Rekurrenzplot dargestellt werden.
Die Reihenentwicklung für die Rechteckkurve lautet.
Diese Formel läßt sich auch allgemein formulieren.
Für meine Zwecke habe ich diese Formel etwas modifiziert, dazu wir Omega substituiert.
Die Werte der Konstanten sind
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N : Anzahl der dargestellten Punkte der Kurve |
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a : Amplitude der Kurve |
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b : Anzahl der Perioden |
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k : Anzahl Glieder der Reihe |
Mit N kann die Anzahl der dargestellten Punkte und damit die Auflösung bestimmt werden.
a bestimmt die Amplitude der Kurve und muß N angepasst werden.
Mit b kann die Anzahl der dargestellten Perioden gewählt werden.
k bestimmt die Anzahl der Glieder der Reihenentwicklung. Je größer k ist desto besser nähert sich die Kurve der idealen Rechteckkurve an.
Die folgende Abbildung zeigt die Reihenentwicklung für verschiedene Werte von k für eine halbe Periode. Je größer k ist desto besser ist die Annäherung an die Rechteckkurve. Bei hohen Werten von k kommt es an den Flanken zu Überschwingungen (Gibbssches Phänomen).
Für die ideale Rechteckkurve ist der Rekurrenzplot trivial. Für eine Periode sind es zwei Quadrate.
Für zwei Perioden sind es acht Quadrate.
Bei der Fourierreihenentwicklung sieht das anders aus, man kann die Güte der Kurve am Rekurrenzplot ablesen. Dargestellt sind 3 Glieder (k=3) und N=2000 Punkte.
Da der Rekurrenzplot einer Periode aus zwei symmetrischen Teilen besteht wurden für die folgenden Abbildungen nur eine halbe Periode berechnet.
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
k = 10
k = 20
k = 50
Das Plugin zur Erzeugung von Rekurrenzplots (für Cinema Version 11) kann auf der Download Seite runtergeladen werden.
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