1.9. Das Sierpinski Dreieck durch IFS
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Das Sierpinski Dreieck läßt sich auch durch ein Iteriertes Funktionen System (IFS) [16,17,18,19] erzeugen. Bei den Iterierten Funktionen Systemen werden mehrere Funktionen nacheinander zufällig auf Punkte oder Objekte angewendet. Bei den Funktionen handelt es sich um affine Abbildungen wie z.B. Skalierungen, Verschiebungen, Spiegelungen, Drehungen usw.
In der Ebene läßt sich eine affine Abbildung durch folgende Formel beschreiben.
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10-25 |
Wenn wir die Funktion auf einen Punkt Pn anwenden erhalten wir einen neuen Punkt Pn+1.
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10-26 |
Gl. 10-26 können wir auch auflösen.
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10-27 |
Für das Sierpinki Dreieck benötigen wir 3 Funktionen w1, w2 und w3. Eine Zufallszahl entscheidet welche der 3 Funktionen gerade angewendet wird. Für jede Funktion wi wird eine Wahrscheinlichkeit p angegeben die entscheidet wie häufig diese Funktion angewendet wird. Beim Sierpinski Dreieck sind alle Wahrscheinlichkeiten identisch. Die Koeffizienten der Funktionen und die Wahrscheinlichkeiten lassen sich einfacher in einer Tabelle darstellen.
| w | a | b | c | d | e | f | p |
| 1 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0.00 | 0.00 | 1/3 |
| 2 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0.25 | 0.50 | 1/3 |
| 3 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0.50 | 0.00 | 1/3 |
Die Berechnung des Bildes ist dann eigentlich ganz einfach. Zuerst wird ein Startpunkt P0(x,y) festgelegt. Dann wird eine der 3 Funktionen ausgewählt und angewendet, wir erhalten den Punkt P1(x,y) und zeichnen ihn. Dann wählen wir wieder zufällig eine der 3 Funktionen aus und wenden sie auf den Punkt P1(x,y) an. So erhalten wir Punkt P2(x,y) und zeichnen ihn.
Diesen Vorgang wiederholen wir viele Tausend mal und das Bild ist fertig.
Das Aussehen des Bildes wird ausschließlich durch die Funktionen bestimmt, der Startpunkt P0(x,y) hat darauf keinen Einfluß.
Abb. 159
Wenn wir die Funktionen geringfügig verändern erhalten wir ein gedrehtes Sierpinski Dreieck.
| w | a | b | c | d | e | f | p |
| 1 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 1/3 |
| 2 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0.0 | 1.0 | 1/3 |
| 3 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.0 | 1/3 |
Abb. 160
Die Theorie zu den iterierten Funktionen Systemen wurde von Michael Barnsley 1987 entwickelt. Von ihm stammt auch das bekannteste und wahrscheinlich auch schönste IFS Bild, der Barnsley Farn.
Für den Barnsley Farn benötigen wir 4 Funktionen. Im Gegensatz zum Sierpinski Dreieck werden die Funktionen unterschiedlich oft angewendet, d.h. die Wahrscheinlichkeiten p unterscheiden sich deutlich.
| w | a | b | c | d | e | f | p |
| 1 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 0.16 | 0.00 | 0.00 | 0.01 |
| 2 | 0.85 | 0.04 | -0.04 | 0.85 | 0.00 | 1.6 | 0.85 |
| 3 | 0.20 | -0.26 | 0.23 | 0.22 | 0.00 | 1.60 | 0.07 |
| 4 | -0.15 | 0.28 | 0.26 | 0.24 | 0.00 | 0.44 | 0.07 |
Abb. 161
Auf den nächsten beiden Seiten gibt es noch ein paar Beispiel für IFS Bilder.
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