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Aufgabe 93

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      (Gl. 1)       (Gl. 2)       (Gl. 3)

Gesucht sind die Lösungen für a, b und c.

      (Gl. 4)

Wir addieren eine 1 auf beiden Seiten von Gl. 1.

      (Gl. 5)

Auf der linken Seite können wir a ausklammern.

      (Gl. 6)

Auf der linken Seite fügen wir eine Klammer ein um (b - 1) zu erzeugen.

      (Gl. 7)

Jetzt können wir (b - 1) ausklammern.

      (Gl. 7a)

Wir addieren eine 1 auf beiden Seiten von Gl. 2.

      (Gl. 8)

Auf der linken Seite können wir b ausklammern.

      (Gl. 9)

Auf der linken Seite fügen wir eine Klammer ein um (c - 1) zu erzeugen.

      (Gl. 10)

Jetzt können wir (c - 1) ausklammern.

      (Gl. 11)

Wir addieren eine 1 auf beiden Seiten von Gl. 3.

      (Gl. 12)

Auf der linken Seite können wir c ausklammern.

      (Gl. 13)

Auf der linken Seite fügen wir eine Klammer ein um (a - 1) zu erzeugen.

      (Gl. 14)

Jetzt können wir (a - 1) ausklammern.

      (Gl. 15)

Wir multiplizieren Gl. 7a, Gl. 11 und Gl. 15.

      (Gl. 16)

      (Gl. 17)

Es gilt.

      (Gl. 18)

Mit Hilfe von Gl. 18 erhalten wir aus Gl. 17.

      (Gl. 19)

Auf beiden Seiten ziehen wir die Wurzel.

      (Gl. 20)

Um die Lösung für a zu erhalten teilen wir Gl. 20 durch Gl. 11.

      (Gl. 21)

Auf der linken Seite können wir einmal (b - 1)·(c - 1) kürzen.

      (Gl. 22)

Auf beiden Seiten addieren wir 1.

      (Gl. 23)

Wir erhalten die beiden Lösungen für a.

      (Gl. 24)       (Gl. 25)

Um die Lösung für b zu erhalten teilen wir Gl. 20 durch Gl. 15.

      (Gl. 26)

Auf der linken Seite können wir einmal (c - 1)·(a - 1) kürzen.

      (Gl. 27)

Auf beiden Seiten addieren wir 1.

      (Gl. 28)

Wir erhalten die beiden Lösungen für b.

      (Gl. 29)       (Gl. 30)

Um die Lösung für c zu erhalten teilen wir Gl. 20 durch Gl. 7a.

      (Gl. 31)

Auf der linken Seite können wir einmal (a - 1)·(b - 1) kürzen.

      (Gl. 32)

Auf beiden Seiten addieren wir 1.

      (Gl. 33)

Wir erhalten die beiden Lösungen für c.

      (Gl. 34)       (Gl. 35)

Alle Lösungen.

      (Gl. 36)

Zur Kontrolle setzten wir a₁, b₁ und c₁ in Gl. 1, Gl. 2 und Gl. 3 ein.

      (Gl. 37)

Zur Kontrolle setzten wir a₂, b₂ und c₂ in Gl. 1, Gl. 2 und Gl. 3 ein.

      (Gl. 38)

Alternative Lösung 1

      (Gl. 1)       (Gl. 2)       (Gl. 3)

Auf der linken Seite von Gl. 1 klammern wir a aus und addieren auf beiden Seiten b.

      (Gl. 39)

Beide Seiten teilen wir durch (b - 1).

      (Gl. 40)

Gl. 2 stellen wir etwas um.

      (Gl. 41)

Auf der linken Seite von Gl. 2 klammern wir c aus und addieren auf beiden Seiten b.

      (Gl. 42)

Beide Seiten teilen wir durch (b - 1).

      (Gl. 43)

Wir setzen Gl. 40 und Gl. 43 in Gl. 3 ein.

      (Gl. 44)

      (Gl. 45)

Beide Seiten multiplizieren wir mit (b - 1)².

      (Gl. 46)

Wir können (b -1) kürzen.

      (Gl. 47)

Wir können -(b -1) ausklammern.

      (Gl. 48)

      (Gl. 49)

      (Gl. 50)

      (Gl. 51)

Wir multiplizieren die Klammern aus.

      (Gl. 52)

      (Gl. 53)

      (Gl. 54)

      (Gl. 55)

      (Gl. 56)

Wir erhalten eine quadratische Gleichung.

      (Gl. 57)

Für die Lüsung der quadratischen Gleichung gilt.

      (Gl. 58)

      (Gl. 59)

Mit Hilfe von Gl. 59 erhalten wir für b_1,2.

      (Gl. 60)

      (Gl. 61)

      (Gl. 29)       (Gl. 30)

Zur Berechnung von a₁ setzen wir b₁ in Gl. 40 ein.

      (Gl. 62)

Zur Berechnung von a₂ setzen wir b₂ in Gl. 40 ein.

      (Gl. 63)

Zur Berechnung von c₁ setzen wir b₁ in Gl. 43 ein.

      (Gl. 64)

Zur Berechnung von c₂ setzen wir b₂ in Gl. 43 ein.

      (Gl. 65)

Alternative Lösung 2

Für diesen Lösungsweg nutzen wir Gl. 7a, Gl. 11 und Gl. 15.

      (Gl. 7a)

      (Gl. 11)

      (Gl. 15)

Wir teilen beide Seiten von Gl. 7a durch (a - 1).

      (Gl. 66)

Wir teilen beide Seiten von Gl. 11 durch (c - 1).

      (Gl. 67)

Wir teilen beide Seiten von Gl. 15 durch (b - 1).

      (Gl. 68)

Wir setzen Gl. 66 und Gl. 67 gleich.

      (Gl. 69)

Wir setzen Gl. 68 in Gl. 69 ein.

      (Gl. 70)

Auf der rechten Seite können wir kürzen.

      (Gl. 71)

Gl. 71 multiplizieren wir über kreuz.

      (Gl. 72)

      (Gl. 73)

Beide Seiten teilen wir durch 3.

      (Gl. 74)

Auf beiden Seiten ziehen wir die Wurzel.

      (Gl. 75)

Auf beiden Seiten addieren wir 1.

      (Gl. 23)

Wir erhalten die beiden Lösungen a₁ und a₂.

      (Gl. 24)       (Gl. 25)

Zur Berechnung von b₁ setzen wir a₁ in Gl. 66 ein und addieren auf beiden Seiten 1.

      (Gl. 76)

Zur Berechnung von b₂ setzen wir a₂ in Gl. 66 ein und addieren auf beiden Seiten 1.

      (Gl. 77)

Zur Berechnung von c₁ setzen wir a₁ in Gl. 68 ein und addieren auf beiden Seiten 1.

      (Gl. 78)

Zur Berechnung von c₂ setzen wir a₂ in Gl. 68 ein und addieren auf beiden Seiten 1.

      (Gl. 79)

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