Aufgabe 91
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(Gl. 1)
Die Lösung ist mit x = 6 natürlich offensichtlich, da der Exponent 6 gerade ist ist auch x = -6 eine Lösung.
(Gl. 2)
Es gibt aber noch mehr Lösungen, um sie zu finden müssen wir aber systematisch vorgehen.
Es gilt.
(Gl. 3)
Mit Hilfe von Gl. 3 erhalten wir aus Gl. 1.
(Gl. 4)
Beide Seiten multiplizieren wir mit 26.
(Gl. 5)
Es gilt.
(Gl. 6)
Mit Hilfe von Gl. 6 erhalten wir aus Gl. 5.
(Gl. 7)
(Gl. 8)
Beide Seiten subtrahieren wir 66.
(Gl. 9)
Den Exponent 6 ersetzen wir durch 2·3.
(Gl. 10)
Es gilt.
(Gl. 11)
Mit Hilfe von Gl. 11 erhalten wir aus Gl. 10.
(Gl. 12)
Es gilt.
(Gl. 13)
Mit Hilfe von Gl. 13 erhalten wir aus Gl. 12.
(Gl. 14)
Wir können jetz beide Faktoren auf der linken Seite separat gleich Null setzten, fangen wir mit (x3 + 63) an.
(Gl. 15)
Es gilt.
(Gl. 16)
Mit Hilfe von Gl. 16 erhalten wir aus Gl. 15.
(Gl. 17)
(Gl. 18)
Wir können jetzt beide Faktoren auf der linken Seite separat gleich Null setzten, fangen wir mit (x + 6) an.
(Gl. 19)
Wir erhalten die erste Lösung x1.
(Gl. 20)
Wir setzen den zweiten Faktor von Gl. 18 gleich Null und erhalten eine quadratische Gleichung.
(Gl. 21)
Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt.
(Gl. 22)
(Gl. 23)
Mit Hilfe von Gl. 22 und Gl. 23 erhalten wir aus Gl. 21.
(Gl. 24)
Es gilt.
(Gl. 25)
Mit Hilfe von Gl. 25 erhalten wir aus Gl. 24.
(Gl. 26)
Die 9 ersetzen wir durch 32.
(Gl. 27)
Es gilt.
(Gl. 28)
Mit Hilfe von Gl. 28 erhalten wir aus Gl. 27.
(Gl. 29)
Es gilt.
(Gl. 30)
Mit Hilfe von Gl. 30 erhalten wir aus Gl. 29.
(Gl. 31)
Wir erhalten die beiden nächsten Löungen x2 und x3.
(Gl. 32)
(Gl. 33)
Machen wir mit dem zweiten Faktor von Gl. 14 weiter und setzen ihn gleich Null.
(Gl. 34)
Es gilt.
(Gl. 35)
Mit Hilfe von Gl. 35 erhalten wir aus Gl. 34.
(Gl. 36)
(Gl. 37)
Wir können jetzt beide Faktoren auf der linken Seite separat gleich Null setzten, fangen wir mit (x - 6) an.
(Gl. 38)
Wir erhalten die nächste Löung x4.
(Gl. 39)
Wir setzen den zweiten Faktor von Gl. 37 gleich Null und erhalten eine quadratische Gleichung.
(Gl. 40)
Mit Hilfe von Gl. 22 und Gl. 23 erhalten wir aus Gl. 40.
(Gl. 41)
(Gl. 42)
Wir erhalten die beiden letzten Löung x5 und x6.
(Gl. 43)
(Gl. 44)
Es gibt insgesamt zwei reelle und 4 komplexe Lösungen.
(Gl. 20)
(Gl. 32)
(Gl. 33)
(Gl. 39)
(Gl. 43)
(Gl. 44)
Anhang 1
Zur Kontrolle setzten wir die Lösungen in Gl. 1 ein.
Fangen wir mit x1 an.
(Gl. 20)
(Gl. 45)
Wir setzen Gl. 32 in Gl. 1 ein und ersetzen x26 durch x23·x23.
(Gl. 32)
(Gl. 46)
Es gilt.
(Gl. 47)
Mit Hilfe von Gl. 47 erhalten wir für x23.
(Gl. 48)
(Gl. 49)
(Gl. 50)
(Gl. 51)
Wir erhalten eine reelle Lösung.
(Gl. 52)
Wir setzen Gl. 52 in Gl. 46 ein.
(Gl. 53)
Wir setzen Gl. 33 in Gl. 1 ein und ersetzen x36 durch x33·x33.
(Gl. 33)
(Gl. 54)
Es gilt.
(Gl. 55)
Mit Hilfe von Gl. 55 erhalten wir für x33.
(Gl. 56)
(Gl. 57)
(Gl. 58)
Wir erhalten eine reelle Lösung.
(Gl. 59)
Wir setzen Gl. 59 in Gl. 54 ein.
(Gl. 60)
Wir setzen Gl. 39 in Gl. 1 ein.
(Gl. 39)
(Gl. 61)
Wir setzen Gl. 43 in Gl. 1 ein und ersetzen x56 durch x53·x53.
(Gl. 43)
(Gl. 62)
Es gilt.
(Gl. 47)
Mit Hilfe von Gl. 47 erhalten wir für x53.
(Gl. 63)
(Gl. 64)
(Gl. 65)
(Gl. 66)
Wir erhalten eine reelle Lösung.
(Gl. 67)
Wir setzen Gl. 67 in Gl. 62 ein.
(Gl. 68)
Wir setzen Gl. 44 in Gl. 1 ein und ersetzen x66 durch x63·x63.
(Gl. 44)
(Gl. 69)
Es gilt.
(Gl. 55)
Mit Hilfe von Gl. 55 erhalten wir für x63.
(Gl. 70)
(Gl. 71)
(Gl. 72)
Wir erhalten eine reelle Lösung.
(Gl. 73)
Wir setzen Gl. 73 in Gl. 69 ein.
(Gl. 74)
Anhang 2
Zum Schluß noch einmal die Entwicklung der Gleichungen, angefangen bei Gl. 9.
(Gl. 9)
(Gl. 14)
(Gl. 75)
(Gl. 76)
Die dazugehörigen 6 Lösungen.
(Gl. 20)
(Gl. 32)
(Gl. 33)
(Gl. 39)
(Gl. 43)
(Gl. 44)
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