[zurück]

Aufgabe 87

[vor]

      (Gl. 1)

Wir ersetzen die 4 durch 2² und die 8 durch 2³.

      (Gl. 2)

Es gilt.

      (Gl. 3)

Mit Hilfe vom Gl. 3 erhalten wir aus Gl. 2.

      (Gl. 4)

2^m substituieren wir durch x.

      (Gl. 5)

Wir setzen Gl. 5 in Gl. 4 ein.

      (Gl. 6)

Die 39 drücken wir durch eine Summe aus.

      (Gl. 7)

      (Gl. 8)

Gl. 8 setzen wir in Gl. 6 ein.

      (Gl. 9)

Die Lösung der Gleichung (x = 3) ist offensichtlich.

      (Gl. 10)

Wir machen die Substitution rückgängig und setzen Gl. 10 in Gl. 5 ein.

      (Gl. 11)

Beide Seiten werden logarithmiert.

      (Gl. 12)

Es gilt.

      (Gl. 13)

Mit Hilfe von Gl. 13 erhalten wir aus Gl. 12.

      (Gl. 14)

Beide Seiten teilen wir durch log(2).

      (Gl. 15)

Gl. 15 können wir auch durch einen Logarithmus der Basis 2 ausdrücken.

      (Gl. 16)

Zur Kontrolle setzen wir Gl. 16 in Gl. 2 ein.

      (Gl. 17)

Es gilt.

      (Gl. 18)

Mit Hilfe von Gl. 18 erhalten wir aus Gl. 17.

      (Gl. 19)

Es gilt.

      (Gl. 20)

Mit Hilfe von Gl. 20 erhalten wir aus Gl. 19.

      (Gl. 21)

Wir berechnen die Potenzen.

      (Gl. 22)

Für einen Lorarithmus der Basis a gilt.

      (Gl. 23)

Mit Hilfe von Gl. 23 erhalten wir aus Gl. 22.

      (Gl. 24)

      (Gl. 25)

Die vollständige Löung.

Gl. 9 stellen wir etwas um.

      (Gl. 26)

Die einzelnen Glieder von Gl. 26 sortieren wir nach dem Exponent.

      (Gl. 27)

      (Gl. 28)

Es gilt.

      (Gl. 29)

      (Gl. 30)

Mit Hilfe von Gl. 29 und Gl. 30 erhalten wir aus Gl. 28.

      (Gl. 31)

Wir können (x - 3) ausklammern.

      (Gl. 32)

      (Gl. 33)

Wir könnne beide Klammern aus Gl. 33 separat gleich Null stzen.

      (Gl. 34)

Wir addieren auf beiden Seiten 3 und erhalten x₁.

      (Gl. 35)

Gl. 35 setzen wir in Gl. 5 ein und erhalten die erste Lösung m₁ (siehe oben).

      (Gl. 36)

m₁ als Zahlenwert.

      (Gl. 37)

Bei der zweiten Klammer aus Gl. 33

      (Gl. 38)

Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt.

      (Gl. 39)

      (Gl. 40)

Mit Hilfev von Gl. 40 erhaltenb wir aus Gl. 38.

      (Gl. 41)

      (Gl. 42)

Wir erhalten die zweite Lösung m₂.

      (Gl. 43)

m₂ als Zahlenwert.

      (Gl. 44)

      (Gl. 45)

Wir erhalten die dritte Lösung m₃.

      (Gl. 46)

m₃ als Zahlenwert.

      (Gl. 47)

Alle drei Lösungen im Überblick.

      (Gl. 36)       (Gl. 43)       (Gl. 46)

Lösung 1 hatten wir schon bewiesen (s.o.), jetzt setzen wir Lösung 2 in Gl. 4 ein.

      (Gl. 48)

Es gilt.

      (Gl. 49)

Mit Hilfe von Gl. 49 erhalten wir für x₂².

      (Gl. 50)

      (Gl. 51)

Es gilt.

      (Gl. 52)

Mit Hilfe von Gl. 52 erhalten wir für x₂³.

      (Gl. 53)

      (Gl. 54)

Wir setzen Gl. 51 und Gl. 54 in Gl. 48 ein.

      (Gl. 55)

Für einen Lorarithmus der Basis a gilt.

      (Gl. 23)

Mit Hilfe von Gl. 23 erhalten wir aus Gl. 55.

      (Gl. 56)

      (Gl. 57)

Wir sortieren die Real- und Imaginärteile.

      (Gl. 58)

Wir fassen die Real- und Imaginärteile zusammen.

      (Gl. 59)

      (Gl. 60)

Wir setzen Lösung 3 (Gl. 46) in Gl. 4 ein.

      (Gl. 61)

Es gilt.

      (Gl. 49)

Mit Hilfe von Gl. 49 erhalten wir für x₃².

      (Gl. 62)

      (Gl. 63)

Es gilt.

      (Gl. 52)

Mit Hilfe von Gl. 52 erhalten wir für x₃³.

      (Gl. 64)

      (Gl. 65)

Wir setzen Gl. 63 und Gl. 65 in Gl. 61 ein.

      (Gl. 66)

Für einen Lorarithmus der Basis a gilt.

      (Gl. 23)

Mit Hilfe von Gl. 23 erhalten wir aus Gl. 66.

      (Gl. 67)

      (Gl. 68)

Wir sortieren die Real- und Imaginärteile.

      (Gl. 69)

Wir fassen die Real- und Imaginärteile zusammen.

      (Gl. 70)

      (Gl. 71)

Anhang

Wir können natürlich auch die Zahlenwerte von m zur Kontrolle verwenden und sie in Gl. 1 einsetzen.

      (Gl. 1)

(Gl. 72)	(Gl. 76)	(Gl. 83)

[zurück]

[Inhaltsverzeichnis]

[vor]