Interessante Mathe Aufgaben

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Aufgabe 78

[vor]

(Gl. 1)

Die Brüche unter der Wurzel bringen wir auf einen Hauptnenner.

(Gl. 2)

Einen Teil den Zählers substituieren wir durch x².

(Gl. 3)

Es gilt.

(Gl. 4)

Mit Hilfe von Gl. 4 erhalten wir aus Gl. 3.

(Gl. 5)

Auf beiden Seiten ziehen wir die Wurzel.

(Gl. 6)

Betrachten wir den rechten Teil des Zählers in Gl. 2.

(Gl. 7)

Es gilt.

(Gl. 8)

Mit Hilfe von Gl. 8 erhalten wir aus Gl. 7.

(Gl. 9)

Wir sortieren die rechte Seite von Gl. 9.

(Gl. 10)

Auf der rechten Seite können wir einmal 2n ausklammern.

(Gl. 11)

Auf der rechten Seite setzen wir Gl. 6 ein.

(Gl. 12)

Wir setzen Gl. 3 und Gl. 12 in Gl. 2 ein.

(Gl. 13)

Es gilt.

(Gl. 14)

Mit Hilfe von Gl. 14 erhalten wir aus Gl. 13.

(Gl. 15)

Es gilt.

(Gl. 16)

Mit Hilfe von Gl. 16 erhalten wir aus Gl. 15.

(Gl. 17)

Wurzel und Quadrat heben sich auf.

(Gl. 18)

Es gilt.

(Gl. 19)

Mit Hilfe von Gl. 19 erhalten wir aus Gl. 18.

(Gl. 20)

Wir können einmal x kürzen.

(Gl. 21)

Es gilt.

(Gl. 22)

Mit Hilfe von Gl. 22 erhalten wir aus Gl. 21.

(Gl. 23)

Das Ergebnis der ersten Summenfunktion ist trivial.

(Gl. 24)

In die zweite Summenfunktion setzen wir Gl. 6 ein.

(Gl. 25)

Zum Zähler addieren und subtrahieren wir einmal n.

(Gl. 26)

Den Zähler ordnen wir anders an.

(Gl. 27)

Es gilt.

(Gl. 19)

Mit Hilfe von Gl. 19 erhalten wir aus Gl. 27.

(Gl. 28)

Wir können einmal (n+1) und einmal n kürzen.

(Gl. 29)

Wir berechnen die ersten und letzten Glieder der Reihe.

(Gl. 30) (Gl. 31)

Bis auf das erste und das letzte Glied heben sich benachbarte Glieder auf.

(Gl. 32)

Wir bringen die Brüche auf einen Hauptnenner.

(Gl. 33)

Wir setzen Gl. 24 und Gl. 33 in Gl. 23 ein.

(Gl. 34)

(Gl. 35)

Das Ergebnis.

(Gl. 36)

Die wichtigsten Schritte der Berechnung in einer Übersicht.

(Gl. 37)

Anhang 1

(Gl. 1)

Wir betrachten die Summe der einzelnen Glieder der Summenfunktion.

Summe

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

1,5000000000
2,6666666667
3,7500000000
4,8000000000
5,8333333333
6,8571428571
7,8750000000
8,8888888888
9,9000000000
10,9090909091
11,9166666667
12,9230769231
13,9285714286
14,9333333333
15,9375000000
16,9411764706
17,9444444444
18,9473684211
19,9500000000
20,9523809524
21,9545454545
22,9565217391
23,9583333333
24,9600000000
25,9615384615
26,9629629630
27,9642857143
28,9655172414
29,9666666667
30,9677419355
31,9687500000
32,9696969697
33,9705882353
34,9714285714
35,9722222222
36,9729729730
37,9736842105
38,9743589744
39,9750000000
40,9756097561
41,9761904762
42,9767441860
43,9772727273
44,9777777778
45,9782608696
46,9787234043
47,9791666667
48,9795918367
49,9800000000
50,9803921569
51,9807692308
52,9811320755
53,9814814815
54,9818181818
55,9821428571
56,9824561404
57,9827586207
58,9830508475
59,9833333333
60,9836065574
61,9838709677
62,9841269841
63,9843750000
64,9846153846
65,9848484848
66,9850746269
67,9852941176
68,9855072464
69,9857142857
70,9859154930
71,9861111111
72,9863013699
73,9864864865
74,9866666667
75,9868421053
76,9870129870
77,9871794872
78,9873417722
79,9875000000
80,9876543210
81,9878048780
82,9879518072
83,9880952381
84,9882352941
85,9883720930
86,9885057471
87,9886363636
88,9887640449
89,9888888889
90,9890109890
91,9891304348
92,9892473118
93,9893617021
94,9894736842
95,9895833333
96,9896907216
97,9897959184
98,9898989899
99,9900000000
100,9900990100

Anhang 2

Ich habe darauf verzichtet die 100 Glieder manuell zu addieren und es bei den ersten 10 belassen.