Aufgabe 71
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(Gl. 1)
Wir substituieren x1/x durch y.
(Gl. 2)
Auf beide Seiten von Gl. 2 wenden wir den natürlichen Logarithmus an.
(Gl. 3)
Es gilt.
(Gl. 4)
Mit Hilfe von Gl. 4 erhalten wir aus Gl. 3.
(Gl. 5)
(Gl. 6)
Von Gl. 6 bilden wir den Grenzwert.
(Gl. 7)
Wenn der Grenzwert nicht definiert ist, z.B.
(Gl. 8)
oder
(Gl. 9)
wenden wir die Regel von de L’Hospital an und benutzen die erste Ableitung der Funktionen.
(Gl. 10)
Für f(x) und seine Ableitung erhalten wir.
(Gl. 11)
(Gl. 12)
Für g(x) und seine Ableitung erhalten wir.
(Gl. 13)
(Gl. 14)
Mit Hilfe von Gl. 12, Gl. 14 und Gl. 10 erhalten wir aus Gl. 7.
(Gl. 15)
(Gl. 16)
Es gilt.
(Gl. 17)
Mit Hilfe von Gl. 17 erhalten wir aus Gl. 16.
(Gl. 18)
Grenzwert und Logarithmus können wir vertauschen.
(Gl. 19)
Es gilt.
(Gl. 20)
Auf beide Seiten von Gl. 19 wenden wir die e Funktion an, siehe auch Gl. 20.
(Gl. 21)
Es gilt.
(Gl. 22)
Mit Hilfe von Gl. 22 erhalten wir aus Gl. 21.
(Gl. 23)
Im letzten Schritt machen wir die Substitution rückgängig und setzten Gl. 2 in Gl. 23 ein und erhalten das Ergebnis.
(Gl. 24)
Anhang
(Gl. 1)
| x | x1/x |
|
1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000 100000000000 1000000000000 |
1,00000000000 1,25892541179 1,04712854805 1,00693166885 1,00092145832 1,00011513588 1,00001381561 1,00000161181 1,00000018421 1,00000002072 1,00000000230 1,00000000025 1,00000000003 |
| 1,00000000000 |
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