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Interessante Mathe Aufgaben

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      (Gl. 1)

Die -1 ersetzen wir durch 1-2 und die 3 ersetzen wir durch 1+2.

      (Gl. 2)

Wir substituieren x+1 durch k.

      (Gl. 3)

Gl. 3 setzen wir in Gl. 2 ein.

      (Gl. 4)

Die 4 im Exponent ersetzen wir durch 2*2.

      (Gl. 5)

Es gilt.

      (Gl. 6)

Mit Hilfe von Gl. 6 erhalten wir aus Gl. 5.

      (Gl. 7)

Es gilt.

      (Gl. 8)

      (Gl. 9)

Gl. 8 und Gl. 9 wenden wir auf Gl. 7 an.

      (Gl. 10)

Die Klammern ordnen wir etwas anders an.

      (Gl. 11)

Wir substituieren k²+4 durch a und 4k durch b.

      (Gl. 12)

      (Gl. 13)

Gl. 12 und Gl. 13 setzen wir in Gl. 11 ein.

      (Gl. 14)

Mit Hilfe von Gl. 8 und Gl. 9 erhalten wir aus Gl. 14.

      (Gl. 15)

      (Gl. 16)

Gl. 16 läßt sich vereinfachen.

      (Gl. 17)

Die 2 können wir ausklammern.

      (Gl. 18)

Beide Seiten teilen wir durch 2.

      (Gl. 19)

Wir setzen Gl. 12 und Gl. 13 wieder in Gl. 19 ein.

      (Gl. 20)

Wir multiplizieren die Klammern aus und sortieren die Gleichung.

      (Gl. 21)

      (Gl. 22)

      (Gl. 23)

Wir substituieren k² mit m.

      (Gl. 24)

So erhalten wir eine quadratische Gleichung.

      (Gl. 25)

Die 24m ersetzen wir durch 25m-m.

      (Gl. 26)

Wir klammern einmal m und einmal -1 aus.

      (Gl. 27)

Jetzt können wir m+25 ausklammern.

      (Gl. 28)

Jetzt können wir beide Klammern gleich Null setzen und erhalten die beiden Lösungen m₁ und m₂.

      (Gl. 29)

      (Gl. 30)

      (Gl. 31)

      (Gl. 32)

m₁ und m₂ setzen wir nacheinander in Gl. 24 ein.

      (Gl. 33)

      (Gl. 34)

      (Gl. 35)

      (Gl. 36)

      (Gl. 37)

      (Gl. 38)

Die beiden Ergebnisse für k setzen wir in Gl. 3 ein. Fangen wir mit Gl. 35 an.

      (Gl. 39)

      (Gl. 40)

Wir erhalten die beiden ersten Löungen x₁ und x₂, beide sind komplex.

      (Gl. 41)

      (Gl. 42)

Gl. 38 setzen wir in Gl. 3 ein.

      (Gl. 43)

Wir erhalten die letzten beiden Löungen x₄ und x₄.

      (Gl. 44)

      (Gl. 45)

Alle 4 Löungen.

Kontrolle

Zur Kontrolle setzen wir die 4 Lösungen in Gl. 1 ein.

      (Gl. 41)

x₁ setzen wir in Gl. 1 ein.

      (Gl. 46)

Es gilt.

      (Gl. 47)

Mit Hilfe von Gl. 47 erhalten wir für die erste komplexe Zahl.

      (Gl. 48)

      (Gl. 49)

Mit Hilfe von Gl. 47 erhalten wir für die zweite komplexe Zahl.

      (Gl. 50)

      (Gl. 51)

Wir addieren Gl. 49 und Gl. 51 und erhalten wieder 82.

      (Gl. 52)

x₂ setzen wir in Gl. 1 ein.

      (Gl. 42)

      (Gl. 53)

      (Gl. 54)

      (Gl. 55)

      (Gl. 56)

      (Gl. 57)

Wir erhalten wieder 82.

      (Gl. 58)

x₃ setzen wir in Gl. 1 ein.

      (Gl. 44)

      (Gl. 59)

      (Gl. 60)

Wir erhalten wieder 82.

      (Gl. 61)

x₄ setzen wir in Gl. 1 ein.

      (Gl. 45)

      (Gl. 62)

      (Gl. 63)

Wir erhalten wieder 82.

      (Gl. 64)

Anhang

Alternativ können wir Gl. 1 natürlich auch stur ausmultiplizieren.

      (Gl. 1)

Es gilt.

      (Gl. 65)

      (Gl. 66)

Für die erste Klammer erhalten wir.

      (Gl. 67)

Für die zweite Klammer erhalten wir.

      (Gl. 68)

Gl. 67 und Gl. 68 setzen wir in Gl. 1 ein.

      (Gl. 69)

      (Gl. 70)

      (Gl. 71)

      (Gl. 72)

      (Gl. 73)

      (Gl. 74)

      (Gl. 75)

Wir erhalten ein Polynom 3. Grades.

      (Gl. 76)

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