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10.3. 4 Dodekaeder und 4 5-Eck Antiprismen

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4 Dodekaeder lassen sich so anodnen dass sie mit 4 5-Eck Antiprismen verbunden werden können.

Die Seitenansichten.

Die 4 roten Dodekaeder befinden sich auf den Eckpunkten einer Raute.

Einige Kanten (grün) liegen in der Draufsicht parallel zur Ebene, daraus lassen sich die Positionen der 4 Dodekaeder herleiten.

Für die Verschiebung der Dodekaeder vom Ursprung erhält man für d₁ und d₂.

d₁ und d₂ bilden mit der Kantenlänge c der Raute ein rechtwinkliges Dreieck. Über den Pythagoras läßt sich c berechnen..

Die Kantenlänge c läßt sich auch über den Inkugelradius des Dosekaeders (r_i) und die Höhe des Antiprismas berechnen.

mit

und

Für c erhält man dann.

Beide Ansätze für die Berechnung von c führen über zwei sehr unterschiedliche Formeln zum gleichen Ergebnis. Also müsste sich die zweite Formel durch Umstellen in die erste Formel verwandeln lassen. Das erwies sich als schwieriger als gedacht.

Wir bringen die beiden Brüche auf einen Hauptnenner.

Die Wurzeln im Nenner sind ein Problem, jetzt führen wir den goldenen Schnitt phi ein. Dabei gilt

Für c erhalten wir dann

Jetzt werden beide Seiten quadriert

Jetzt ersetzen wir phi wieder

Für c² erhalten wir

Zähler und Nenner multiplizieren wir mit Wurzel(5)

Den Faktor 5 kann man kürzen

mit

erhalten wir

Jetzt setzen wir wieder phi ein

und erhalten

So konnte phi (und damit der Wurzelausdruck) aus dem Nenner herausgekürzt werden. Jetzt können wir phi wieder ersetzen

und erhalten

Jetzt müssen wir nur noch auf beiden Seite die Wurzel ziehen.

Damit ist der Beweis erbracht, sehr umständlich mit einem sehr ungewöhnlichen Lösungsweg, aber immerhin. Wahrscheinlich geht es auch einfacher aber einen anderen Weg habe ich nicht gesehen.

Es geht doch einfacher, wir multiplizieren Zähler und Nenner mit Wurzel(5).

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