5.4. Schröder Fraktale
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Die Schröder Fraktale werden nach folgender Formel berechnet. Zur Berechnung wird neben der Funktion f(zn) auch die erste Ableitung f '(zn) und die zweite Ableitung f ''(zn) benötigt.
f(z) = z2 - 1
Nullstellen:
z1 = -1,0
z2 = 1,0
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Bei einem Polynom mit nur zwei Nullstellen ist das Bild trivial.
f(z) = z2 - z - 2
Nullstellen:
z1 = -1,0
z2 = 2,0
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Bei einem Polynom mit nur zwei Nullstellen ist das Bild trivial.
f(z) = z4 - 2 z3 - 3 z2 + 4 z + 4
Nullstellen:
z1,2 = -1,0
z3,4 = 2,0
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Die doppelten Nullstellen führen zu keinen Veränderungen, das Bild bleibt trivial.
f(z) = z3 - 1
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-1,5 bis 1,5] und imaginär [-1,5 bis 1,5].
f(z) = z4 - 1
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-1,5 bis 1,5] und imaginär [-1,5 bis 1,5].
f(z) = z5 - 1
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-1,5 bis 1,5] und imaginär [-1,5 bis 1,5].
f(z) = 2 z3 - 2 z + 2
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,0 bis 2,0] und imaginär [-2,0 bis 2,0].
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des letzten Bildes im Bereich real [0,4 bis 1,0] und imaginär [-0,3 bis 0,3].
f(z) = z4 - 5 z2 + 4
Nullstellen:
z1 = 1
z2 = -1
z3 = 2
z4 = -2
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-5,0 bis 5,0] und imaginär [-5,0 bis 5,0].
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [0,0 bis 2,1] und imaginär [-1,05 bis 1,05].
f(z) = z3 - z
Nullstellen:
z1 = 1
z2 = 0
z3 = -1
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-3,0 bis 3,0] und imaginär [-3,0 bis 3,0]. Die weißen Bereiche konvergieren zu keiner Nullstelle.
f(z) = z5 - 5 z3 + 4 z
Nullstellen:
z1 = -2
z2 = -1
z3 = 0
z4 = 1
z5 = 2
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-10,0 bis 10,0] und imaginär [-10,0 bis 10,0]. Die weißen Bereiche konvergieren zu keiner Nullstelle.
f(z) = z7 - 14 z5 + 49 z3 - 36 z
Nullstellen:
z1 = -3
z2 = -2
z3 = -1
z4 = 0
z5 = 1
z6 = 2
z7 = 3
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-20,0 bis 20,0] und imaginär [-20,0 bis 20,0]. Die Bereiche, die zu keiner Nullstelle konvergieren, sind diesmal wegen des besseren Kontrastes schwarz dargestellt.
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des letzten Bildes im Bereich real [-1,0 bis 1,0] und imaginär [-1,0 bis 1,0].
f(z) = 600 z4 - 550 z3 + 200 z2 - 20 z - 1
Nullstellen:
z1 = 0,23235296475
z2 = -0,0358396918663
z3 = 0,360076696892 +0,265491739908i
z4 = 0,360076696892 -0,265491739908i
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-0,4 bis 1,0] und imaginär [-0,7 bis 0,7].
Um zu anderen interessanten Bildern zu kommen habe ich die Formel ein bischen modifiziert. Dabei hatte ich folgender Formel verwendet.
mit
f(z) = z3 - 1
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
f(z) = z4 - 1
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
f(z) = z4 - 5 z2 + 4
Nullstellen:
z1 = 1
z2 = -1
z3 = 2
z4 = -2
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-0,65 bis 0,65] und imaginär [-0,65 bis 0,65].
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