5.14. Chun-Kim Methode
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Die Chun-Kim Fraktale [11] werden nach folgender Formel berechnet. Zur Berechnung wird neben der Funktion f(zn) auch die erste Ableitung f '(zn) benötigt. Hier habe ich mit yn etwas die Schreibweise der Formeln geändert.
mit
f(z) = z2 - 1
Nullstellen:
z1 = -1,0
z2 = 1,0
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Auch bei einem Polynom mit nur zwei Nullstellen gibt es eine Feinstruktur. Es gibt Bereiche die zu keiner Nullstelle konvergieren.
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-0,45 bis 0,45] und imaginär [-0,45 bis 0,45].
f(z) = z2 - 0,25
Nullstellen:
z1 = -0,5
z2 = 0,5
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
f(z) = z2 - 0,5625
Nullstellen:
z1 = -0,75
z2 = 0,75
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
f(z) = z2 - 2,25
Nullstellen:
z1 = -1,5
z2 = 1,5
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Hier gibt es wieder Bereiche die zu keiner Nullstelle konvergieren.
f(z) = z2 - 6,25
Nullstellen:
z1 = -2,5
z2 = 2,5
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
f(z) = z2 - 25
Nullstellen:
z1 = -5
z2 = 5
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
f(z) = z4 - 2 z2 + 1
Nullstellen:
z1,2 = -1,0
z3,4 = 1,0
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Bei doppelten Nullstellen gibt es keine Bereiche die zu keiner Nullstelle konvergieren.
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-0,5 bis 0,5] und imaginär [-0,5 bis 0,5].
f(z) = z6 - 3 z4 + 3 z2 - 1
Nullstellen:
z1,2,3 = -1,0
z4,5,6 = 1,0
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Die dreifachen Nullstellen führen zu einer Verfeinerung der Struktur.
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-0,3 bis 0,3] und imaginär [-0,3 bis 0,3].
f(z) = z3 - 1
Nullstellen:
z1 = -0,5 + 0,866025403784i
z2 = -0,5 - 0,866025403784i
z3 = 1,0 + 0,0i
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5]. Kleine "Inseln" gibt es nur im Bereich der komplexen Nullstellen.
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,20 bis -1,96] und imaginär [0,58 bis 0,82].
f(z) = z5 - 1
Nullstellen:
z1 = -0,809016994375 + 0,587785252292i
z2 = -0,809016994375 - 0,587785252292i
z3 = 0,309016994375 + 0,951056516295i
z4 = 0,309016994375 - 0,951056516295i
z5 = 1,0 + 0,0i
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [1,65 bis 1,95] und imaginär [1,775 bis 2,075].
f(z) = z4 - 5 z2 + 4
Nullstellen:
z1 = 1
z2 = -1
z3 = 2
z4 = -2
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [0,40 bis 0,40] und imaginär [-0,4 bis 0,4].
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [1,40 bis 1,90] und imaginär [-0,25 bis 0,25]. In der linken gelben Zone gibt es eine kleine "Insel".
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [1,5405 bis 1,5485] und imaginär [-0,004 bis 0,004]. Sie ist eine Vergrößerung der "Insel" aus der letzten Abbildung.
f(z) = z3 - z
Nullstellen:
z1 = 1
z2 = 0
z3 = -1
Die folgende Abbildung zeigt einen Bereich real [-2,5 bis 2,5] und imaginär [-2,5 bis 2,5].
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