Einen 1 Zylinder Kolbenmotor hatte ich schon in meinem ersten XPresso Tutorial animiert.
Damals wurde die Bewegung des Pleuels animiert, jetzt wird die Bewegung des Kolbens animiert.
Die Bewegung des Kolbens wird durch die Kolbenweggleichung beschrieben. Diese Gleichung möchte ich hier herleiten. Die
Kolbenweggleichung beschreibt die Abhängigkeit des Kolbenwegs sk vom Kurbelwinkel .
Bei den Bezeichnungen habe ich mich weitgehend an die im Maschinenbau üblichen Bezeichnungnen gehalten.
r
Kurbelradius
l
Pleuellänge
sk
Kolbenweg
Pleuelstangenverhältnis
Kurbelwinkel
Auslenkung des Pleuels (Pleuelschwenkwinkel)
h
Kolbenhub
OT
Oberer Totpunkt
UT
Unterer Totpunkt
Die beiden Extremstellungen des Kolbens werden als oberer Totpunkt (OT) und unterer Totpunkt (UT) bezeichnet. Als
Bezugspunkt für den oberen Totpunkt wurde die Achse des Kolbenbolzens gewählt.
Der Kolbenweg sk ist die Bewegung des Kolbens vom oberen Totpunkt (OT) aus.
Kolbenhub h und Pleuelstangenverhältnis l werden wie folgt definiert.
1
2
3
4
5
Gleichung 3 und Gleichung 4 werden in Gleichung 5 eingesetzt.
6
Die Kurbelwelle und das Pleuel bilden mit den Punkten M, A und B ein ebenes Dreieck mit den Seiten r, l und sx.
Fällen wir das Lot von Punkt B auf die Seite sx erhalten wir den Punkt P und die Seite sx wird in zwei
Strecken a und b geteilt. Da es sich bei den beiden Dreiecken MPB und PAB um rechtwinklige Dreiecke handelt lassen sich die
Strecken a und b leicht berechnen.
7
8
Gleichung 7 und Gleichung 8 werden in Gleichung 6 eingesetzt.
9
Mit Gl. 9 haben wir im Prinzip die gesuchte Beziehung, den Kolbenweg sk als Funktion des Kurbelwinkel a.
Allerdings ist der Winkel nicht bekannt und er muß aus der Gleichung eliminiert
werden. Dazu benutzen wir den Sinussatz.
10
bzw.
11
12
Jetzt müssen wir noch den Sinus in den Cosinus umwandeln. Dazu benutzen wir folgenden Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen.
13
Gleichung 13 lösen wir nach cos() auf.
14
Gleichung 12 setzen wir in Gleichung 14 ein.
15
Der Ausdruck unter der Wurzel läßt sich durch das Pleuelstangenverhältnis
(Gleichung 2) vereinfachen.
16
Gleichung 15 kann jetzt in Gleichung 9 eingesetzt werden und wir erhalten die gewünschte Formel zu Berechnung des Kolbenwegs.
17
Zur Verwendung im Formel Node von Xpresso muß die Formel etwas umgeschrieben werden. Da der Kolben am oberen Totpunkt
positioniert wird muß noch ein Minuszeichen hinzugefügt werden.
.
