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Beispiel 5 (verformte Spiralfeder Teil 3)

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Wir wollen die Spiralfeder jetzt so verändern das sich die Drähte am oberen Ende berühren. Das ist mit der Exponentialfunktion nicht optimal zu lösen. Wir versuchen es einmal mit der Hyperbolischen Tangensfunktion. Zum Aussehen der Funktion siehe Abb. 20 aus Tutorial Teil 1.

Egal wie groß die Werte von t werden, y erreicht nie den Wert 1. Wir müssen die Funktion (Gl. 1-65) für unsere Zwecke modifizieren und fügen zwei Konstanten a und b ein.

 

Y(t) = a * tanh(b * t)

2-25

Damit sich die beiden letzten Windungen berühren muß ihre Abstand gleich dem Drahtdurchmesser sein. Daraus ergeben sich folgende Randbedingungen.

 

Y(0) = 0

2-26
 

Y(18) = 390

2-27
 

Y(20) = 400

2-28

Die erste Bedingung ist für alle Werte von a und b erfüllt. Aus den beiden anderen Bedingungen machen wir ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

 

y1 = a * tanh(b * t1)

2-29
 

y2 = a * tanh(b * t2)

2-30

Das Gleichungssystem ist wahrscheinlich nicht exakt lösbar, wir beschränken uns daher auf eine numerische Lösung. Dazu eliminieren wir die Konstante a.

 

a * tanh(b * t1) = y1

2-31
 

a * tanh(b * t2) = y2

2-32
 

tanh(b * t1) / tanh(b * t2) = y1 / y2

2-33

Die Randbedingungen Gl. 2-27 und Gl. 2-28 setzen wir in Gl. 2-33 ein.

 

tanh(b * 18) / tanh(b * 20) = 0.975

2-34

Mit einem programmierbaren Taschenrechner und ein bißchen Probieren können wir b in wenigen Minuten ermitteln.

 

b = 0.0875

  
 

a = 424.91

  

Die gesuchte Funktion lautet also.

 

Y(t) = 424.91 * tanh(0.0875 * t)

2-35

Setzen wir diese Funktion in Cinema ein erhalten wir die gewünschte Spiralfeder. Die oberen zwei Windungen berühren sich, auf die restliche Form der Spiralfeder haben wir mit dieser Funktion keinen Einfluß.

In Cinema geben wir folgendes ein.

 

X(t)

:

100 * sin(t * pi)
 

Y(t)

:

424.91 * tanh(0.0875 * t)
 

Z(t)

:

100 * cos(t * pi)
 

t-Min

:

0
 

t-Max

:

20
 

dt

:

0.01

Abb. 2-5

Wenn wir die Feder symmetrisch zum Koordinatenursprung erzeugen (t-Min = -10, t-Max = 10) so erhalten wir eine Feder die sich prima als Kugelschreiberfeder eignet.

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